Exercício 12. Sejam X e Y v. a. independentes tais que X \sim \chi^{2}(n) e Y \sim \chi^{2}(m), então
Z=\frac{Y / m}{X / n} \sim F(n, m) .

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes com
X \sim \chi^{2}(n), \qquad Y \sim \chi^{2}(m).
Queremos mostrar que
Z \;=\;\frac{Y/m}{X/n}
tem distribuição F(n,m). Para isso, vamos calcular a densidade de Z por transformação de variáveis e reconhecer a forma da densidade F.

Passo 2

Escrevemos primeiro as densidades de X e Y:
f_X(x) =\frac{1}{2^{\,n/2}\,\Gamma\bigl(n/2\bigr)}\,x^{\,n/2-1}\,e^{-x/2}, \quad x>0,
f_Y(y) =\frac{1}{2^{\,m/2}\,\Gamma\bigl(m/2\bigr)}\,y^{\,m/2-1}\,e^{-y/2}, \quad y>0.
Definimos as variáveis escalonadas
U=\frac{X}{n}, \qquad V=\frac{Y}{m},
cujas densidades são
f_U(u) =f_X(nu)\,n =\frac{n^{\,n/2}}{2^{\,n/2}\,\Gamma(n/2)}\,u^{\,n/2-1}\,e^{-n u/2},
f_V(v) =f_Y(mv)\,m =\frac{m^{\,m/2}}{2^{\,m/2}\,\Gamma(m/2)}\,v^{\,m/2-1}\,e^{-m v/2}.

Passo 3

Agora considere a transformação
Z=\frac{V}{U}, \qquad T=U.
Então V=ZT e U=T. O jacobiano dessa transformação (Z,T)\mapsto(U,V) é \bigl|\det J\bigr|=t. Como U e V são independentes, a densidade conjunta é
f_{Z,T}(z,t) =f_U(t)\,f_V(z t)\;t.
Para obter a densidade marginal de Z, integramos em t>0:
f_Z(z) =\int_{0}^{\infty} f_U(t)\,f_V(z t)\,t\,dt.

Passo 4

Substituindo as expressões de f_U e f_V na integral, obtemos
f_Z(z) =\int_{0}^{\infty} \frac{n^{\,n/2}}{2^{\,n/2}\,\Gamma(n/2)}\,t^{\,n/2-1}\,e^{-n t/2} \;\cdot\; \frac{m^{\,m/2}}{2^{\,m/2}\,\Gamma(m/2)}\,(z t)^{\,m/2-1}\,e^{-m z t/2} \;t\;dt.
Agrupando potências de t e constantes:
f_Z(z) =\frac{n^{\,n/2}\,m^{\,m/2}\,z^{\,m/2-1}}{2^{(n+m)/2}\,\Gamma(n/2)\,\Gamma(m/2)} \int_{0}^{\infty} t^{\,(n+m)/2-1} e^{-\tfrac{n+m\,z}{2}\,t} \,dt.

Passo 5

A integral que aparece é do tipo gama:
\int_{0}^{\infty}t^{\,\alpha-1}e^{-\beta t}\,dt =\frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^{\alpha}},
com \alpha=(n+m)/2 e \beta=(n+m\,z)/2. Logo
\int_{0}^{\infty} t^{\,(n+m)/2-1} e^{-\tfrac{n+m\,z}{2}\,t} \,dt =\Gamma\!\Bigl(\tfrac{n+m}{2}\Bigr) \Bigl(\tfrac{2}{n+m\,z}\Bigr)^{\!\tfrac{n+m}{2}}.
Substituindo de volta e simplificando potências de 2 e m, obtemos
f_Z(z) =\frac{\Gamma\bigl(\tfrac{n+m}{2}\bigr)}{\Gamma(\tfrac{n}{2})\,\Gamma(\tfrac{m}{2})} \Bigl(\tfrac{n}{m}\Bigr)^{\!n/2} \frac{z^{\,m/2-1}}{\bigl(1+\tfrac{n}{m}z\bigr)^{(n+m)/2}}.

Passo 6

A expressão encontrada coincide exatamente com a densidade da distribuição F(n,m), cuja forma é
f(z) =\frac{1}{\mathrm{B}(\tfrac{n}{2},\tfrac{m}{2})} \Bigl(\tfrac{n}{m}\Bigr)^{\!n/2} \frac{z^{\,n/2-1}}{\bigl(1+\tfrac{n}{m}z\bigr)^{(n+m)/2}}
(com troca dos papéis de n e m conforme a convenção de parâmetros). Concluímos portanto que
Z\sim F(n,m).

Resposta

Z=\dfrac{Y/m}{X/n}\sim F(n,m).

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