O enunciado pede para obter as densidades marginais de duas transformações de (X,Y) contínuas com f.d.p. conjunta f_{X,Y}(x,y):
– Z = X/Y
– T = X\,Y
O conteúdo é mudança de variáveis para densidade conjunta e marginalização.
Passo 2
Para Z=X/Y introduzimos a variável auxiliar U=Y. Assim fazemos a transformação
(x,y)\longmapsto(z,u) = \bigl(x/y,\;y\bigr),
cuja inversa é
(z,u)\longmapsto(x,y) = (z\,u,\;u).
O Jacobiano dessa inversão é
J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial z & \partial x/\partial u\\\ \partial y/\partial z & \partial y/\partial u \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} u & z\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = u.
Passo 3
Pela fórmula de densidade conjunta de variáveis transformadas, temos