Exercício 13. Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com f.d.p. conjunta f_{X, Y}(x, y) e sejam Z=X / Y e T=X Y. Mostre que
\begin{gathered} f_{Z}(z)=\int_{\infty}^{-\infty}|u| f_{X, Y}(u z, u) \partial u \\\ f_{T}(t)=\int_{\infty}^{-\infty} \frac{1}{|u|} f_{X, Y}\left(\frac{t}{u}, u\right) \partial u=\int_{\infty}^{-\infty} \frac{1}{|v|} f_{X, Y}\left(v, \frac{t}{v}\right) \partial v \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para obter as densidades marginais de duas transformações de (X,Y) contínuas com f.d.p. conjunta f_{X,Y}(x,y):
Z = X/Y
T = X\,Y
O conteúdo é mudança de variáveis para densidade conjunta e marginalização.

Passo 2

Para Z=X/Y introduzimos a variável auxiliar U=Y. Assim fazemos a transformação
(x,y)\longmapsto(z,u) = \bigl(x/y,\;y\bigr),
cuja inversa é
(z,u)\longmapsto(x,y) = (z\,u,\;u).
O Jacobiano dessa inversão é
J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial z & \partial x/\partial u\\\ \partial y/\partial z & \partial y/\partial u \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} u & z\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = u.

Passo 3

Pela fórmula de densidade conjunta de variáveis transformadas, temos
f_{Z,U}(z,u) = f_{X,Y}\bigl(x,y\bigr)\,\bigl|J\bigr| = f_{X,Y}(z\,u,\,u)\,\bigl|u\bigr|.

Passo 4

Para obter a densidade marginal de Z basta integrar em u:
f_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Z,U}(z,u)\,du = \int_{-\infty}^{\infty}\bigl|u\bigr|\,f_{X,Y}(z\,u,\,u)\,du.

Passo 5

Para T = X\,Y procedemos de modo análogo. Tomamos como auxiliar V=Y. A inversa é
(t,v)\longmapsto(x,y)=\bigl(t/v,\;v\bigr),
com Jacobiano
J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial t & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial t & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/v & -\,t/v^{2}\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{v}.
Logo a densidade conjunta é
f_{T,V}(t,v) = f_{X,Y}\bigl(t/v,v\bigr)\,\frac{1}{\bigl|v\bigr|}.

Passo 6

Marginalizando em v obtemos
f_{T}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{T,V}(t,v)\,dv = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\bigl|v\bigr|}\,f_{X,Y}\bigl(t/v,\,v\bigr)\,dv.
Fazendo a troca de nome de variável v\to u dá a forma equivalente
f_{T}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\bigl|u\bigr|}\,f_{X,Y}\bigl(u,\,t/u\bigr)\,du.

Resposta

f_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty}\bigl|u\bigr|\,f_{X,Y}(z\,u,\,u)\,du,
f_{T}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\bigl|u\bigr|}\,f_{X,Y}\bigl(\tfrac{t}{u},\,u\bigr)\,du = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\bigl|v\bigr|}\,f_{X,Y}\bigl(v,\,\tfrac{t}{v}\bigr)\,dv.

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