Exercício 133. Use o teorema de Green para calcule
, onde
e
é a fronteira da região limitada por
e
orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
, onde a campo vetorial e a região são dados por:
-
com e . -
é a fronteira da região limitada pelas curvas e , orientada positivamente (sentido anti-horário).
As informações relevantes que temos:
- A curva da esquerda é
(isso dá sempre). - A curva da direita é
. - O enunciado exige explicitamente usar o Teorema de Green para avaliar a integral de linha fechada.
Passo 2
Vou lembrar (em palavras simples) o que diz o Teorema de Green e por que ele serve aqui.
O Teorema de Green afirma que, para uma região
do plano com fronteira
simples, fechada e orientada positivamente, e para um campo
cujas derivadas parciais
e
são contínuas em uma vizinhança de
, vale:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Antes de aplicar, preciso checar as hipóteses:
- As fórmulas envolvem
e , que são problemáticas em . Porém a região está entre e , e . Logo em tem-se . Portanto e e suas derivadas parciais são contínuas em todo . Assim o Teorema de Green é aplicável.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando do Teorema de Green.
Primeiro
. Como
, derivando em relação a
(tratando
como constante):
- Para
: é constante em relação a , então essa derivada é . - Para
a derivada é .
Portanto
Agora
. Como
, derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Formar o integrando
e simplificar:
Surpresa boa: tudo que depende de
e
por
cancela, restando a constante
. Isso facilita muito a integral dupla.
Passo 5
Aplicar o Teorema de Green: a integral de linha vale a integral dupla da constante
sobre a região
:
Portanto basta calcular a área da região
limitada por
(à esquerda) e
(à direita).
Para encontrar os limites em
, resolvemos a interseção das curvas:
(nos reais as soluções são
e
). Logo a região
é descrita por:
A área pode ser calculada integrando em
a largura horizontal
:
Passo 6
Calcular a integral da área passo a passo, usando simetria (a função
é par, porque
é par):
Agora integrar no intervalo
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Finalmente calcular a integral de linha usando
:
Pronto — deu uma constante muito simpática e a conta ficou direta. Vai com calma na prova: verificar sempre domínio do campo antes de aplicar Green (aqui evitamos problemas porque
).