Os grupos devem resolver os seguintes problemas usando o TVI:
A corrente em um circuito RL é dada por: I(t)=5\left(1-e^{\wedge}(-2 t)\right) amperes
a) Mostre que existe um tempo em que a corrente é exatamente 3 A
b) Estime esse tempo usando o método da bisseção (2 iterações)

Passo 1

O enunciado dá a corrente como função do tempo:
I(t)=5\left(1-e^{-2t}\right)\\ \text{(amperes)}.
As perguntas são:
a) Mostrar que existe um tempo t em que I(t)=3 A.
b) Estimar esse tempo usando o método da bisseção, realizando 2 iterações.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função I(t) está definida para tempos t\ge 0 (tempo em segundos).
  • Valor alvo da corrente: 3 A.

Passo 2

Transformar o problema numa equação cuja raiz procuramos. Defino a função
f(t)=I(t)-3 = 5\left(1-e^{-2t}\right)-3.
Observações sobre continuidade (necessárias para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, TVI):
  • A função exponencial e^{-2t} é contínua para todo t.
  • Combinações algébricas de funções contínuas (multiplicação, soma, subtração) são contínuas.
    Logo f(t) é contínua em [0,\infty).
Enunciado do TVI (versão usada): se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Para mostrar existência basta encontrar um intervalo [a,b] com a\ge0 tal que f(a)\cdot f(b)<0.

Passo 3

Avalio f em dois pontos fáceis para procurar mudança de sinal.
No instante t=0:
f(0)=5\left(1-e^{0}\right)-3=5(1-1)-3=-3.
Portanto f(0)=-3<0.
Escolho t=1 (um ponto simples) e calcule:
e^{-2\cdot 1}=e^{-2}\approx 0{,}135335.
Então
f(1)=5\left(1-e^{-2}\right)-3 \approx 5(1-0{,}135335)-3 =5(0{,}864665)-3\approx 4{,}323325-3=1{,}323325>0.
Como f(0)=-3<0 e f(1)\approx 1{,}323325>0, temos f(0)\cdot f(1)<0. Aplicando o TVI, existe pelo menos um t\in(0,1) tal que f(t)=0, ou seja, existe tempo em que I(t)=3 A.
(Se quiser a solução exata: resolvendo 5(1-e^{-2t})=3 e^{-2t}=0{,}4 e portanto t=-\tfrac{1}{2}\ln(0{,}4)\approx0{,}4581 s. Mas a existência foi mostrada pelo TVI.)

Passo 4

Explicação do método da bisseção (resumida e prática):
  • Supõe-se f contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0.
  • Calcula-se o ponto médio m=(a+b)/2 e avalia-se f(m).
  • Se f(m)=0 encontrou-se a raiz; se não, escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde ocorre a troca de sinal (onde f tem sinais opostos) e repete-se.
  • A cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é dividido por 2.
  • Após k iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{k}. O erro máximo ao usar o ponto médio como aproximação é no máximo (b-a)/2^{k+1}.
Vamos aplicar esse procedimento com o intervalo inicial que usamos no Passo 3: [a,b]=[0,1], pois f(0)<0 e f(1)>0.

Passo 5

Intervalo inicial: a_0=0, b_0=1.
Calculo do ponto médio:
m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
Avalio f em m_1:
e^{-2\cdot 0{,}5}=e^{-1}\approx 0{,}367879,
f(0{,}5)=5(1-0{,}367879)-3 \approx 5(0{,}632121)-3 \approx 3{,}160605-3=0{,}160605>0.
Como f(0)= -3<0 e f(0{,}5)>0, a raiz está no subintervalo [0,0{,}5]. Portanto, depois da 1ª iteração escolhemos
a_1=0,\qquad b_1=0{,}5.

Passo 6

Calculo do segundo ponto médio:
m_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{0+0{,}5}{2}=0{,}25.
Avalio f em m_2:
e^{-2\cdot 0{,}25}=e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653066,
f(0{,}25)=5(1-0{,}60653066)-3 \approx 5(0{,}39346934)-3 \approx 1{,}9673467-3=-1{,}0326533<0.
Agora f(0{,}25)<0 e f(0{,}5)>0, portanto a raiz está em [0{,}25,\,0{,}5]. Depois da 2ª iteração o intervalo que contém a raiz é
[a_2,b_2]=[0{,}25,\,0{,}5].
A aproximação pelo método da bisseção após 2 iterações é o ponto médio desse intervalo:
\hat t = \frac{0{,}25+0{,}5}{2}=0{,}375.

Passo 7

Tamanho inicial do intervalo: b_0-a_0=1. Após k=2 iterações, o comprimento do intervalo é
\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0{,}25.
O erro máximo ao usar a aproximação \hat t é no máximo metade desse comprimento:
\text{erro máximo}\le \frac{1}{2^{2+1}}=\frac{1}{8}=0{,}125.á
Comparando com a solução exata t\approx 0{,}4581, a diferença |0{,}4581-0{,}375|\approx 0{,}0831 está dentro do limite de erro 0{,}125, como esperado.

Resposta

(a) Sim. Existe t\in(0,1) tal que I(t)=3; exatamente t=-\tfrac{1}{2}\ln(0{,}4)\approx0{,}4581\\ \text{s}.
(b) Pela bisseção com 2 iterações a estimativa é t\approx0{,}375\\ \text{s}, intervalo final [0{,}25;0{,}5] e erro máximo \le0{,}125 s.

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