Os grupos devem resolver os seguintes problemas usando o TVI:
A corrente em um circuito RL é dada por:
amperes
a) Mostre que existe um tempo em que a corrente é exatamente 3 A
b) Estime esse tempo usando o método da bisseção (2 iterações)
A corrente em um circuito RL é dada por:
a) Mostre que existe um tempo em que a corrente é exatamente 3 A
b) Estime esse tempo usando o método da bisseção (2 iterações)
Passo 1
O enunciado dá a corrente como função do tempo:
As perguntas são:
a) Mostrar que existe um tempo em que
A.
b) Estimar esse tempo usando o método da bisseção, realizando 2 iterações.
a) Mostrar que existe um tempo
b) Estimar esse tempo usando o método da bisseção, realizando 2 iterações.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida para tempos (tempo em segundos). - Valor alvo da corrente:
A.
Passo 2
Transformar o problema numa equação cuja raiz procuramos. Defino a função
Observações sobre continuidade (necessárias para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, TVI):
- A função exponencial
é contínua para todo . - Combinações algébricas de funções contínuas (multiplicação, soma, subtração) são contínuas.
Logoé contínua em .
Enunciado do TVI (versão usada): se
é contínua num intervalo
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe
tal que
.
Para mostrar existência basta encontrar um intervalo
com
tal que
.
Passo 3
Avalio
em dois pontos fáceis para procurar mudança de sinal.
No instante
:
Portanto
.
Escolho
(um ponto simples) e calcule:
Então
Como
e
, temos
. Aplicando o TVI, existe pelo menos um
tal que
, ou seja, existe tempo em que
A.
(Se quiser a solução exata: resolvendo
dá
e portanto
s. Mas a existência foi mostrada pelo TVI.)
Passo 4
Explicação do método da bisseção (resumida e prática):
- Supõe-se
contínua em e . - Calcula-se o ponto médio
e avalia-se . - Se
encontrou-se a raiz; se não, escolhe-se o subintervalo ou onde ocorre a troca de sinal (onde tem sinais opostos) e repete-se. - A cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é dividido por
. - Após
iterações o comprimento do intervalo é . O erro máximo ao usar o ponto médio como aproximação é no máximo .
Vamos aplicar esse procedimento com o intervalo inicial que usamos no Passo 3:
, pois
e
.
Passo 5
Intervalo inicial:
,
.
Calculo do ponto médio:
Avalio
em
:
Como
e
, a raiz está no subintervalo
. Portanto, depois da 1ª iteração escolhemos
Passo 6
Calculo do segundo ponto médio:
Avalio
em
:
Agora
e
, portanto a raiz está em
. Depois da 2ª iteração o intervalo que contém a raiz é
A aproximação pelo método da bisseção após 2 iterações é o ponto médio desse intervalo:
Passo 7
Tamanho inicial do intervalo:
. Após
iterações, o comprimento do intervalo é
O erro máximo ao usar a aproximação
é no máximo metade desse comprimento:
Comparando com a solução exata
, a diferença
está dentro do limite de erro
, como esperado.
Resposta
(a) Sim. Existe
tal que
; exatamente
.
(b) Pela bisseção com 2 iterações a estimativa é , intervalo final
e erro máximo
s.
(b) Pela bisseção com 2 iterações a estimativa é