Os grupos devem resolver os seguintes problemas usando o TVI:
Um controlador deve ajustar a velocidade de um motor de forma contínua de 0 RPM a 3000 RPM em 30 segundos. Garantir que em algum momento a velocidade foi exatamente 1850 RPM.
Um controlador deve ajustar a velocidade de um motor de forma contínua de 0 RPM a 3000 RPM em 30 segundos. Garantir que em algum momento a velocidade foi exatamente 1850 RPM.
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede isto:
- Informação: a velocidade do motor é ajustada de forma contínua de
até em . - Pedido: garantir que em algum momento, durante esses
, a velocidade foi exatamente .
Passo 2
Vamos definir uma função que descreva o problema de maneira matemática:
onde
é a velocidade do motor, em RPM, no instante
(em segundos). O domínio
corresponde ao intervalo de tempo desde o início até os
. O objetivo é mostrar que existe algum
tal que
Passo 3
Explicando o que significa assumir que
é contínua (de um jeito leve e prático):
- Intuição prática: dizer que
é contínua em significa que a velocidade varia sem saltos bruscos; se eu mexo muito pouco no tempo , a velocidade muda pouco. Isso faz sentido fisicamente: controladores e a inércia do motor impedem mudanças instantâneas de centenas ou milhares de RPM num instante zero. - Definição (intuitiva, sem entrar em teorema técnico): para cada instante
e para cada tolerância pequena , existe uma vizinhança de tempo em torno de onde a diferença fica menor que . Não é necessário dominar - agora; basta entender: sem saltos, a função é contínua.
Passo 4
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — versão prática e formal:
- Se uma função
é contínua num intervalo fechado e é qualquer número entre e (ou igual a um dos extremos), então existe algum tal que
- Em palavras: uma função contínua não “pula” valores; ela atinge todos os valores intermediários entre os valores nos extremos do intervalo.
Passo 5
Verificação das hipóteses do TVI para a nossa função
:
- A hipótese de continuidade foi dada no enunciado: a velocidade é ajustada de forma contínua — então assumimos
contínua em . - Valores nos extremos:
- O valor alvo
fica entre os extremos:
Portanto todas as hipóteses do TVI estão satisfeitas.
Passo 6
Aplicando o TVI:
- Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua em e está entre e , existe algum tal que
Isto é exatamente a garantia pedida: em algum instante durante os
a velocidade foi
.
Passo 7
Observações práticas e como encontrar o instante (se for necessário estimar):
- O TVI garante existência, mas não dá o valor exato de
sem um modelo para . - Exemplo ilustrativo (assumindo rampa linear, só para mostrar como calcular): se supusermos que a velocidade sobe uniformemente, então
Nesse caso resolver
dá
- Se a subida não for linear, um procedimento prático para achar
numericamente é medir em instantes e aplicar o método da bisseção (que usa essencialmente o mesmo princípio do TVI): procurar um intervalo de tempo onde esteja abaixo de na esquerda e acima na direita, dividir o intervalo e refinar até a precisão desejada.
Passo 8
Recapitulando de forma motivadora: com uma hipótese física razoável (continuidade), o Teorema do Valor Intermediário resolve a questão de existência de forma direta. É o tipo de argumento que cai bem em prova: definir
, verificar continuidade e extremos, aplicar o TVI — e pronto, garantia formal de que
foi atingido em algum instante.
Resposta
Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
.