Os grupos devem resolver os seguintes problemas usando o TVI:
Um controlador deve ajustar a velocidade de um motor de forma contínua de 0 RPM a 3000 RPM em 30 segundos. Garantir que em algum momento a velocidade foi exatamente 1850 RPM.

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede isto:
  • Informação: a velocidade do motor é ajustada de forma contínua de 0\\ \text{RPM} até 3000\\ \text{RPM} em 30\\ \text{s}.
  • Pedido: garantir que em algum momento, durante esses 30\\ \text{s}, a velocidade foi exatamente 1850\\ \text{RPM}.

Passo 2

Vamos definir uma função que descreva o problema de maneira matemática:
v:[0,30]\to\mathbb{R},
onde v(t) é a velocidade do motor, em RPM, no instante t (em segundos). O domínio [0,30] corresponde ao intervalo de tempo desde o início até os 30\\ \text{s}. O objetivo é mostrar que existe algum c\in[0,30] tal que
v\text{(c)}=1850\\ \text{RPM}.

Passo 3

Explicando o que significa assumir que v é contínua (de um jeito leve e prático):
  • Intuição prática: dizer que v é contínua em [0,30] significa que a velocidade varia sem saltos bruscos; se eu mexo muito pouco no tempo t, a velocidade muda pouco. Isso faz sentido fisicamente: controladores e a inércia do motor impedem mudanças instantâneas de centenas ou milhares de RPM num instante zero.
  • Definição (intuitiva, sem entrar em teorema técnico): para cada instante t_0 e para cada tolerância pequena \varepsilon>0, existe uma vizinhança de tempo em torno de t_0 onde a diferença |v(t)-v(t_0)| fica menor que \varepsilon. Não é necessário dominar \varepsilon- \delta agora; basta entender: sem saltos, a função é contínua.

Passo 4

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — versão prática e formal:
  • Se uma função f é contínua num intervalo fechado [a,b] e y é qualquer número entre f(a) e f(b) (ou igual a um dos extremos), então existe algum c\in[a,b] tal que
f\text{(c)}=y.
  • Em palavras: uma função contínua não “pula” valores; ela atinge todos os valores intermediários entre os valores nos extremos do intervalo.

Passo 5

Verificação das hipóteses do TVI para a nossa função v:
  • A hipótese de continuidade foi dada no enunciado: a velocidade é ajustada de forma contínua — então assumimos v contínua em [0,30].
  • Valores nos extremos:
v(0)=0\\ \text{RPM}, \qquad v(30)=3000\\ \text{RPM}.
  • O valor alvo 1850\\ \text{RPM} fica entre os extremos:
0<1850<3000.
Portanto todas as hipóteses do TVI estão satisfeitas.

Passo 6

Aplicando o TVI:
  • Pelo Teorema do Valor Intermediário, como v é contínua em [0,30] e 1850 está entre v(0) e v(30), existe algum t^\ast\in(0,30) tal que
v(t^\ast)=1850\\ \text{RPM}.
Isto é exatamente a garantia pedida: em algum instante durante os 30\\ \text{s} a velocidade foi 1850\\ \text{RPM}.

Passo 7

Observações práticas e como encontrar o instante (se for necessário estimar):
  • O TVI garante existência, mas não dá o valor exato de t^\ast sem um modelo para v(t).
  • Exemplo ilustrativo (assumindo rampa linear, só para mostrar como calcular): se supusermos que a velocidade sobe uniformemente, então
v(t)=\frac{3000-0}{30}\,t=100\,t.
Nesse caso resolver 100\,t=1850
t=18,5\\ \text{s}.
  • Se a subida não for linear, um procedimento prático para achar t^\ast numericamente é medir v(t) em instantes e aplicar o método da bisseção (que usa essencialmente o mesmo princípio do TVI): procurar um intervalo de tempo onde v esteja abaixo de 1850 na esquerda e acima na direita, dividir o intervalo e refinar até a precisão desejada.

Passo 8

Recapitulando de forma motivadora: com uma hipótese física razoável (continuidade), o Teorema do Valor Intermediário resolve a questão de existência de forma direta. É o tipo de argumento que cai bem em prova: definir v, verificar continuidade e extremos, aplicar o TVI — e pronto, garantia formal de que 1850\\ \text{RPM} foi atingido em algum instante.

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe t\in(0,30) tal que v(t)=1850\\ \text{RPM}.

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