Exercício 138. Use o teorema de Green para calcule \oint_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(10 x^{4}-y^{3}, x^{3}-\right. \left.3 y^{5}\right) e C o círculo x^{2}+y^{2}=5 no sentido horário.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo vetorial F(x,y)=\bigl(10x^{4}-y^{3},\;x^{3}-3y^{5}\bigr). Ou seja, as componentes são P(x,y)=10x^{4}-y^{3},\qquad Q(x,y)=x^{3}-3y^{5}.
  • A curva C é o círculo \,x^{2}+y^{2}=5\, percorrido no sentido horário.
O que é pedido:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C} F\cdot dr, isto é \displaystyle \oint_{C} P\,dx + Q\,dy, sobre o círculo dado com a orientação especificada.

Passo 2

Ideia principal (explicação do método usado, passo a passo):
  • Existe uma relação que transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região D interior à curva. Essa relação diz, para uma curva orientada positivamente (sentido anti-horário): \oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.Aqui D é a região interior de C, e \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} são as derivadas parciais de Q e P.
  • Atenção ao sentido: a fórmula acima vale quando C é percorrida no sentido anti-horário. Como C no enunciado é percorrido no sentido horário, o valor pedido será o negativo da integral dupla: \oint_{C} P\,dx + Q\,dy \;=\; -\,\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Explicando a razão do sinal: inverter a orientação de uma curva fechada troca o sinal da integral de linha.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-3y^{5}\bigr)=3x^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(10x^{4}-y^{3}\bigr)=-3y^{2}.
Portanto o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3x^{2}-(-3y^{2})=3x^{2}+3y^{2}=3(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Montar a integral dupla sobre D (o disco de raio \sqrt{5}):
Pelo passo anterior temos
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = -\iint_{D} 3(x^{2}+y^{2})\,dA.
Como a região D é o disco \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 5\}, é conveniente usar coordenadas polares:
  • x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
  • x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • dA = r\,dr\,d\theta.
    Os limites são 0\le r\le \sqrt{5} e 0\le \theta\le 2\pi. Substituindo:
-\iint_{D} 3(x^{2}+y^{2})\,dA = -\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}} 3\,r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = -\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}} 3\,r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r e em \theta passo a passo:
  • Integral em r: \int_{0}^{\sqrt{5}} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^{4}}{4} = \frac{25}{4}.
  • Multiplicando pelo fator 3: 3\cdot \frac{25}{4} = \frac{75}{4}.
  • Integral em \theta: \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Produto: \frac{75}{4}\cdot 2\pi = \frac{75\pi}{2}.
Lembrando do sinal negativo por causa do sentido horário, o valor final da integral de linha é o negativo desse resultado.

Resposta

-\dfrac{75\pi}{2}

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