Exercício 138. Use o teorema de Green para calcule
, onde
e
o círculo
no sentido horário.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo vetorial
. Ou seja, as componentes são - A curva
é o círculo percorrido no sentido horário.
O que é pedido:
- Calcular a integral de linha
, isto é , sobre o círculo dado com a orientação especificada.
Passo 2
Ideia principal (explicação do método usado, passo a passo):
- Existe uma relação que transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região
interior à curva. Essa relação diz, para uma curva orientada positivamente (sentido anti-horário): Aqui é a região interior de , e e são as derivadas parciais de e . - Atenção ao sentido: a fórmula acima vale quando
é percorrida no sentido anti-horário. Como no enunciado é percorrido no sentido horário, o valor pedido será o negativo da integral dupla:
Explicando a razão do sinal: inverter a orientação de uma curva fechada troca o sinal da integral de linha.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
Portanto o integrando fica
Passo 4
Montar a integral dupla sobre
(o disco de raio
):
Pelo passo anterior temos
Pelo passo anterior temos
Como a região
é o disco
, é conveniente usar coordenadas polares:
-
. -
. -
.
Os limites sãoe . Substituindo:
Passo 5
Calcular a integral em
e em
passo a passo:
- Integral em
: - Multiplicando pelo fator
: - Integral em
: - Produto:
Lembrando do sinal negativo por causa do sentido horário, o valor final da integral de linha é o negativo desse resultado.