Exercício 135. Use o teorema de Green para calcule
, onde
e
é a circunferência
orientada positivamente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O campo vetorial é
. - A curva
é a circunferência cuja equação é . - A orientação de
é positiva (isto é, sentido anti-horário). - O que o enunciado pede: calcular o integral de linha fechado
.
Passo 2
Identificar a região fechada por
e suas propriedades geométricas (isto é útil para o cálculo do integral sobre a região).
A equação da curva é
Complete o quadrado em
:
Logo,
é o contorno do disco centrado em
com raio
. Denotemos por
o disco fechado interior a
. A área de
é a área de um círculo de raio
, que vale
.
Passo 3
Explicar o resultado que será usado (enunciado pede usar o teorema de Green) e as hipóteses para aplicá-lo.
O teorema de Green diz o seguinte: se
é uma curva fechada simples, suave por partes e orientada positivamente, e
é a região limitada por
, e se
tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Aqui
e
são as componentes de
:
. O integrando
é a diferença das derivadas parciais indicadas. As hipóteses são satisfeitas porque
e
são polinômios (derivadas contínuas em toda parte) e
é uma circunferência simples com orientação positiva.
Passo 4
Identificar
e
e calcular as derivadas parciais que aparecem no teorema de Green.
Temos
Calcule
. Como
, derivando em relação a
tratando
como constante:
Calcule
. Como
, derivando em relação a
tratando
como constante:
Passo 5
Formar o integrando da dupla integral pedido pelo teorema de Green e simplificar.
Substituindo as derivadas:
Portanto o integrando é a constante
em todos os pontos de
. Isso simplifica muito a integral dupla: ela será simplesmente
vezes a área de
.
Passo 6
Calcular a área da região
e avaliar a integral dupla.
Como encontrámos no Passo 2,
é um disco de raio
. A área de um disco de raio
é
. Então aqui a área é
Agora a integral dupla vale
Passo 7
Concluir o valor do integral de linha pela equivalência dada pelo teorema de Green.
Pelo teorema de Green,