Exercício 135. Use o teorema de Green para calcule \oint_{C} F d r, onde F(x, y)=(x+y, y-x) e C é a circunferência x^{2}+y^{2}-2 x=0 orientada positivamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O campo vetorial é F(x,y)=(x+y,\;y-x).
  • A curva C é a circunferência cuja equação é x^{2}+y^{2}-2x=0.
  • A orientação de C é positiva (isto é, sentido anti-horário).
  • O que o enunciado pede: calcular o integral de linha fechado \displaystyle \oint_{C} F\cdot d r.

Passo 2

Identificar a região fechada por C e suas propriedades geométricas (isto é útil para o cálculo do integral sobre a região).
A equação da curva é
x^{2}+y^{2}-2x=0.
Complete o quadrado em x:
x^{2}-2x+1 + y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Logo, C é o contorno do disco centrado em (1,0) com raio 1. Denotemos por D o disco fechado interior a C. A área de D é a área de um círculo de raio 1, que vale \pi.

Passo 3

Explicar o resultado que será usado (enunciado pede usar o teorema de Green) e as hipóteses para aplicá-lo.
O teorema de Green diz o seguinte: se C é uma curva fechada simples, suave por partes e orientada positivamente, e D é a região limitada por C, e se F=(P,Q) tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} F\cdot d r = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P(x,y) e Q(x,y) são as componentes de F: F=(P,Q). O integrando \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é a diferença das derivadas parciais indicadas. As hipóteses são satisfeitas porque P e Q são polinômios (derivadas contínuas em toda parte) e C é uma circunferência simples com orientação positiva.

Passo 4

Identificar P e Q e calcular as derivadas parciais que aparecem no teorema de Green.
Temos
P(x,y)=x+y,\qquad Q(x,y)=y-x.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=y-x, derivando em relação a x tratando y como constante:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y-x)=-1.
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=x+y, derivando em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.

Passo 5

Formar o integrando da dupla integral pedido pelo teorema de Green e simplificar.
Substituindo as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -1 - 1 = -2.
Portanto o integrando é a constante -2 em todos os pontos de D. Isso simplifica muito a integral dupla: ela será simplesmente -2 vezes a área de D.

Passo 6

Calcular a área da região D e avaliar a integral dupla.
Como encontrámos no Passo 2, D é um disco de raio 1. A área de um disco de raio r é \pi r^{2}. Então aqui a área é
\text{Área}(D)=\pi\cdot 1^{2}=\pi.Á
Agora a integral dupla vale
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = \iint_{D} (-2)\,dA = -2\cdot \text{Área}(D) = -2\pi.Á

Passo 7

Concluir o valor do integral de linha pela equivalência dada pelo teorema de Green.
Pelo teorema de Green,
\oint_{C} F\cdot d r = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = -2\pi.

Resposta

-2\pi

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