Exercício 137. Use o teorema de Green para calcule
, onde
e
o círculo
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde:
-
. Ou seja, a componente e a componente . -
é o círculo percorrido no sentido anti-horário.
Portanto a pergunta é: qual é o valor numérico de
para esse campo
e essa curva
?
Passo 2
Apresentação do teorema que vamos usar (explicado devagar como numa aula).
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A forma prática que usamos é:
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
Aqui:
-
e são as componentes do campo vetorial . -
é a região do plano interior à curva . - A orientação positiva (a que faz o teorema valer sem sinal extra) é o sentido anti-horário. Como o enunciado diz explicitamente que
é percorrido no sentido anti-horário, podemos aplicar o teorema diretamente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green.
Temos e
. Então:
Temos
Portanto o integrando é
Observação: esse integrando é constante (não depende de
nem de
), o que simplifica muito a integral dupla.
Passo 4
Descrever a região
e sua área.
A curva é o círculo
. Isso é um círculo de centro
e raio
.
A região é o disco interior a esse círculo. A área de
é a área de um círculo de raio
, ou seja:
A curva
A região
Passo 5
Aplicar o Teorema de Green aproveitando que o integrando é constante.
Como é constante, a integral dupla sobre
é simplesmente essa constante multiplicada pela área de
:
Como
Passo 6
Checagem da orientação: o enunciado diz que
é percorrido no sentido anti-horário, que é a orientação positiva exigida pelo Teorema de Green. Portanto não é preciso trocar sinal. O resultado obtido é o valor final da integral de linha pedida.