Exercício 137. Use o teorema de Green para calcule \oint_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(5 x^{3}+4 y, 2 x-4 y^{4}\right) e C o círculo (x-2)^{2}+y^{2}=4 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle\oint_{C}F\cdot dr onde:
  • F(x,y)=\bigl(5x^{3}+4y,\;2x-4y^{4}\bigr). Ou seja, a componente P(x,y)=5x^{3}+4y e a componente Q(x,y)=2x-4y^{4}.
  • C é o círculo (x-2)^{2}+y^{2}=4 percorrido no sentido anti-horário.
Portanto a pergunta é: qual é o valor numérico de \displaystyle\oint_{C}F\cdot dr para esse campo F e essa curva C?

Passo 2

Apresentação do teorema que vamos usar (explicado devagar como numa aula).
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D limitada por C. A forma prática que usamos é:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo vetorial F=(P,Q).
  • D é a região do plano interior à curva C.
  • A orientação positiva (a que faz o teorema valer sem sinal extra) é o sentido anti-horário. Como o enunciado diz explicitamente que C é percorrido no sentido anti-horário, podemos aplicar o teorema diretamente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando de Green.
Temos P(x,y)=5x^{3}+4y e Q(x,y)=2x-4y^{4}. Então:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-4y^{4})=2,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(5x^{3}+4y)=4.
Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-4=-2.
Observação: esse integrando é constante (não depende de x nem de y), o que simplifica muito a integral dupla.

Passo 4

Descrever a região D e sua área.
A curva C é o círculo (x-2)^{2}+y^{2}=4. Isso é um círculo de centro (2,0) e raio r=2.
A região D é o disco interior a esse círculo. A área de D é a área de um círculo de raio 2, ou seja:
\text{area}(D)=\pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.

Passo 5

Aplicar o Teorema de Green aproveitando que o integrando é constante.
Como \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-2 é constante, a integral dupla sobre D é simplesmente essa constante multiplicada pela área de D:
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA = (-2)\cdot \text{area}(D)=(-2)\cdot 4\pi = -8\pi.

Passo 6

Checagem da orientação: o enunciado diz que C é percorrido no sentido anti-horário, que é a orientação positiva exigida pelo Teorema de Green. Portanto não é preciso trocar sinal. O resultado obtido é o valor final da integral de linha pedida.

Resposta

-8\pi

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