Exercicio 1.14
Achar as constantes a e b da equação de uma reta dada por a x+b y+6=0 se passa pelos pontos (1,4) e (3,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá a reta no formato
a\,x + b\,y + 6 = 0
e pede que ela passe por (1,4) e (3,-2). Isso é Geometria Analítica: basta substituir cada ponto na equação para obter um sistema linear em a e b e depois resolver por eliminação.

Passo 2

Substituindo (x,y)=(1,4) em
a\,x + b\,y + 6 = 0
temos
a\cdot1 + b\cdot4 + 6 = 0
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a + 4b = -6.

Passo 3

Substituindo (x,y)=(3,-2) em
a\,x + b\,y + 6 = 0
temos
3a + b\cdot(-2) + 6 = 0
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3a - 2b = -6.

Passo 4

Vamos resolver o sistema
\begin{cases} a + 4b = -6,\\\\ 3a - 2b = -6. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 3:
3a +12b = -18.
Subtraindo a segunda:
(3a +12b) - (3a -2b) = -18 - (-6) \quad\Longrightarrow\quad 14b = -12 \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{6}{7}.
Agora, em a +4b = -6:
a + 4\Bigl(-\tfrac{6}{7}\Bigr) = -6 \quad\Longrightarrow\quad a - \tfrac{24}{7} = -6 \quad\Longrightarrow\quad a = -\tfrac{18}{7}.

Resposta

\displaystyle a = -\tfrac{18}{7},\quad b = -\tfrac{6}{7}.

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