Exercício 14. (Apostol seção 1.17 exercício 1) Para cada um dos casos abaixo, ache uma base ortonormal para o subespaço de
gerado pelos vetores dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de
gerado por
O método mais direto é usar o processo de Gram–Schmidt para gerar vetores ortogonais e depois normalizá-los.
Passo 2
Primeiro notamos que
é combinação linear de
e
. De fato, queremos
e
tais que
Isso dá o sistema
e
, logo
,
. Portanto
e o subespaço gerado por
é o mesmo de
, de dimensão 2.
Passo 3
Definimos o primeiro vetor do processo de Gram–Schmidt como
O seu comprimento é
logo o primeiro versor (vetor unitário) é
Passo 4
Agora projetamos
sobre
e subtraímos para obter um vetor ortogonal a
. Calculamos
então
Passo 5
Calculamos o comprimento de
:
Normalizando, obtemos
Resposta
Uma base ortonormal do subespaço é