Exercício 14. (Apostol seção 1.17 exercício 1) Para cada um dos casos abaixo, ache uma base ortonormal para o subespaço de R^3 gerado pelos vetores dados:
u1=(1,1,1), u2=(1,0,1) e u3=(3,2,3).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de R^3 gerado por
u1=(1,1,1), u2=(1,0,1), u3=(3,2,3)
O método mais direto é usar o processo de Gram–Schmidt para gerar vetores ortogonais e depois normalizá-los.

Passo 2

Primeiro notamos que u3 é combinação linear de u1 e u2. De fato, queremos alpha e beta tais que
alpha,(1,1,1)+beta,(1,0,1)=(3,2,3)
Isso dá o sistema alpha+beta=3 e alpha=2, logo alpha=2, beta=1. Portanto
u3=2,u1+1,u2
e o subespaço gerado por u1,u2,u3 é o mesmo de u1,u2, de dimensão 2.

Passo 3

Definimos o primeiro vetor do processo de Gram–Schmidt como
v1=u1=(1,1,1)
O seu comprimento é
|v1|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3,
logo o primeiro versor (vetor unitário) é
e1=v1|v1|=1raiz3,(1,1,1)

Passo 4

Agora projetamos u2 sobre e1 e subtraímos para obter um vetor ortogonal a e1. Calculamos
u2cdot e1=1cdot1+0cdot1+1cdot1raiz3=2raiz3,
então
v2=u2-l(u2cdot e1r)e1 =(1,0,1)-2raiz3;1raiz3,(1,1,1) =(1,0,1)-23(1,1,1) =l(tfrac13,-tfrac23,tfrac13r)

Passo 5

Calculamos o comprimento de v2:
|v2|=raizl(tfrac13r)^2+l(-tfrac23r)^2+l(tfrac13r)^2 =raiz1+4+19 =raiz63
Normalizando, obtemos
e2=v2|v2| =l(tfrac13,-tfrac23,tfrac13r)tfracraiz63 =l(tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6,tfrac1raiz6r)

Resposta

Uma base ortonormal do subespaço é
l,e1=tfrac1raiz3(1,1,1), e2=tfrac1raiz6(1,-2,1)r

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