5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
(x^4+2 y^4) d x-x y^3 d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^4+2y^4r),dx ;-; x,y^3,dy ;=;0,
cujos termos M(x,y)=x^4+2y^4 e N(x,y)=-x,y^3 são homogêneos de grau 4. Para resolver, vamos usar a substituição típica para EDOs homogêneas:
y = u,x, logo dy = u,dx + x,du

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma dydx=cdots, temos
dydx =x^4+2y^4x,y^3
Substituindo y=u,x e dy/dx = u + x,du/dx, obtemos
u + xdudx =x^4+2,(u,x)^4x,(u,x)^3 =x^4l(1+2u^4r)x,u^3x^3 =1+2u^4u^3 =u^-3+2u
Assim
xdudx =u^-3+2u - u = u^-3+u

Passo 3

Escrevemos a equação separável:
duu^-3+u =dxx
Observe que
u^-3+u = u^4+1u^3,
portanto
du(u^4+1)/u^3 =u^3,duu^4+1 =dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral u^3,duu^4+1 =integral dxx
Fazendo t=u^4+1, dt=4u^3,du, temos
14integral dtt =lnl|xr| + C Longrightarrow 14lnl(u^4+1r) =lnl|xr| + C
Multiplicando por 4 e exponenciando:
u^4+1 = K,x^4, K=e^4C

Passo 5

Voltando à variável original u=y/x:
l(yxr)^4+1 = K,x^4 Longrightarrow y^4+x^4x^4 = K,x^4 Longrightarrow y^4+x^4 = C,x^8,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
y^4 + x^4 = C,x^8,
com C constante de integração.

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