(a) (1,5 pt) Mostre que integral-pi2^pi2 2 cos ^2(theta) d theta=pi.
(b) (1,5 pt) Mostre que integral-pi2^pi2 sin theta cos ^2 theta d theta=0.
(c) (1,5 pt) Calcule integral1^3 x raiz1-(x-2)^2 d x.
(dica: faça x-2=sin (theta), ou seja, x=2+sin (theta) e use os dois itens anteriores).

Passo 1

O enunciado pede três cálculos de integrais. Em (a) e (b) temos integrais trigonométricas sobre o intervalo simétrico [-tfracpi2,tfracpi2], onde usaremos a identidade de redundância para cos^2theta e a paridade de funções ímpares. Em (c) faremos a substituição trigonométrica x-2=sintheta, transformando a integral em termos de theta e usando os resultados de (a) e (b).

Passo 2

Para (a) usamos a identidade
cos^2theta = 1+cos(2theta)2
Logo,
integral-pi2^pi22cos^2theta,dtheta = integral-pi2^pi2l(1+cos(2theta)r),dtheta = l[theta + tfrac12sin(2theta)r]-pi2^pi2
Avaliando,
l(tfracpi2 + tfrac12sinpir)-l(-tfracpi2 + tfrac12sin(-pi)r) = pi2 - l(-tfracpi2r) = pi

Passo 3

Para (b) note que a função f(theta)=sinthetacos^2theta é ímpar, pois
f(-theta) = sin(-theta)cos^2(-theta) = -sinthetacos^2theta = -f(theta)
Como integramos uma função ímpar num intervalo simétrico,
integral-pi2^pi2sinthetacos^2theta,dtheta = 0

Passo 4

Para (c) faça x-2=sintheta, então x=2+sintheta e dx=costheta,dtheta. Os limites mudam assim:
x=1impliessintheta=-1impliestheta=-tfracpi2, x=3impliessintheta=1impliestheta=tfracpi2
Além disso,
raiz1-(x-2)^2 = raiz1-sin^2theta = lvertcosthetarvert = costheta (thetain[-tfracpi2,tfracpi2])
Portanto,
integral1^3 xraiz1-(x-2)^2,dx = integral-pi2^pi2(2+sintheta),cos^2theta,dtheta = integral-pi2^pi22cos^2theta,dtheta + integral-pi2^pi2sinthetacos^2theta,dtheta
Usando (a) e (b) obtemos
pi + 0 = pi

Resposta

(a) pi
(b) 0
(c) pi

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