(a)
Mostre que
.
(b)
pt) Mostre que
.
(c)
Calcule
.
(dica: faça
, ou seja,
e use os dois itens anteriores).
(b)
(c)
(dica: faça
Passo 1
O enunciado pede três cálculos de integrais. Em (a) e (b) temos integrais trigonométricas sobre o intervalo simétrico
, onde usaremos a identidade de redundância para
e a paridade de funções ímpares. Em (c) faremos a substituição trigonométrica
, transformando a integral em termos de
e usando os resultados de (a) e (b).
Passo 2
Para (a) usamos a identidade
Logo,
Avaliando,
Passo 3
Para (b) note que a função
é ímpar, pois
Como integramos uma função ímpar num intervalo simétrico,
Passo 4
Para (c) faça
, então
e
. Os limites mudam assim:
Além disso,
Portanto,
Usando (a) e (b) obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)