Exercício 14. Calcule \iint_{D}(y-5 x) d x d y, onde D a região limitada por y=0, y=x-1 e y=-1-x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} (y-5x)\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas retas y=0, y=x-1 e y=-1-x.
Informações dadas e o que se pede:
  • Função a ser integrada: (y-5x).
  • Região D é limitada por três retas: y=0, y=x-1 e y=-1-x.
  • Objetivo: calcular a integral dupla da função sobre a região D.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os pontos de interseção das retas para descobrir a forma de D.
Interseção entre y=0 e y=x-1:
0 = x-1 \quad\Rightarrow\quad x=1,
portanto ponto (1,0).
Interseção entre y=0 e y=-1-x:
0 = -1-x \quad\Rightarrow\quad x=-1,
portanto ponto (-1,0).
Interseção entre y=x-1 e y=-1-x:
x-1 = -1-x \quad\Rightarrow\quad 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0,
substituindo em uma das retas: y=0-1=-1, logo ponto (0,-1).
Portanto os vértices da região são (-1,0), (1,0) e (0,-1).

Passo 3

Interpretando esses vértices, D é um triângulo com base no eixo y=0 entre x=-1 e x=1 e vértice inferior em (0,-1).
Para montar a integral como iterada, é conveniente usar fatias verticais (integração em y primeiro, depois em x). Observando as retas:
  • Para x entre -1 e 0, a aresta inferior do triângulo é y=x-1 e a aresta superior é y=0.
  • Para x entre 0 e 1, a aresta inferior é y=-1-x e a aresta superior é y=0.
Por isso vamos dividir a integral em duas partes, uma para x\in[-1,0] e outra para x\in[0,1].

Passo 4

Escrevendo a integral como soma de duas integrais iteradas:
\iint_{D}(y-5x)\,dx\,dy = \int_{x=-1}^{0}\left(\int_{y=x-1}^{0} (y-5x)\,dy\right)dx + \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=-1-x}^{0} (y-5x)\,dy\right)dx.

Passo 5

Calculemos a integral interna genérica \displaystyle \int_{y=a}^{0} (y-5x)\,dy, que serve para os dois casos com a sendo a função do limite inferior.
Integral em y:
\int (y-5x)\,dy = \int y\,dy - \int 5x\,dy = \frac{1}{2}y^{2} - 5x y,
porque ao integrar em y, x é tratado como constante. Avaliando de y=a até y=0:
\int_{y=a}^{0} (y-5x)\,dy = \left(\frac{1}{2}y^{2}-5x y\right)\Big|_{y=a}^{y=0} = 0 -\left(\frac{1}{2}a^{2}-5x a\right) = 5x a - \frac{1}{2}a^{2}.

Passo 6

Agora aplicamos isso ao primeiro trecho, onde a=x-1 e x\in[-1,0].
Substituindo a=x-1:
5x a - \frac{1}{2}a^{2} = 5x(x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^{2}.
Expandindo e simplificando:
5x(x-1) = 5x^{2}-5x,
\frac{1}{2}(x-1)^{2} = \frac{1}{2}(x^{2}-2x+1)=\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{1}{2}.
Então o integrando em x fica
5x(x-1)-\tfrac{1}{2}(x-1)^{2} = \left(5x^{2}-5x\right) -\left(\tfrac{1}{2}x^{2}-x+\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{9}{2}x^{2}-4x-\tfrac{1}{2}.
Integrando em x de -1 a 0:
I_{1}=\int_{-1}^{0}\left(\tfrac{9}{2}x^{2}-4x-\tfrac{1}{2}\right)dx.
Antiderivada término a termo:
\int \tfrac{9}{2}x^{2}dx = \tfrac{9}{2}\cdot \tfrac{x^{3}}{3}=\tfrac{3}{2}x^{3},
\int -4x\,dx = -2x^{2},
\int -\tfrac{1}{2}\,dx = -\tfrac{1}{2}x.
Portanto
\left(\tfrac{3}{2}x^{3}-2x^{2}-\tfrac{1}{2}x\right)\Big|_{-1}^{0}.
Avaliação: em x=0 0. Em x=-1:
\tfrac{3}{2}(-1)^{3}-2(-1)^{2}-\tfrac{1}{2}(-1) = -\tfrac{3}{2}-2+\tfrac{1}{2} = -3.
Logo
I_{1}=0-(-3)=3.

Passo 7

Agora o segundo trecho, com a=-1-x e x\in[0,1].
Usando a expressão genérica 5x a - \tfrac{1}{2}a^{2} com a=-1-x:
5x(-1-x) - \tfrac{1}{2}(-1-x)^{2} = -5x -5x^{2} - \tfrac{1}{2}(x^{2}+2x+1).
Expandindo:
- \tfrac{1}{2}(x^{2}+2x+1) = -\tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{1}{2},
então o integrando fica
-5x -5x^{2} -\tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{1}{2} = -\tfrac{11}{2}x^{2}-6x-\tfrac{1}{2}.
Integrando em x de 0 a 1:
I_{2}=\int_{0}^{1}\left(-\tfrac{11}{2}x^{2}-6x-\tfrac{1}{2}\right)dx.
Antiderivadas:
\int -\tfrac{11}{2}x^{2}dx = -\tfrac{11}{6}x^{3},\qquad \int -6x\,dx = -3x^{2},\qquad \int -\tfrac{1}{2}\,dx = -\tfrac{1}{2}x.
Portanto
\left(-\tfrac{11}{6}x^{3}-3x^{2}-\tfrac{1}{2}x\right)\Big|_{0}^{1} = \left(-\tfrac{11}{6}-3-\tfrac{1}{2}\right)-0.
Somando as frações com denominador 6:
-\tfrac{11}{6}-\tfrac{18}{6}-\tfrac{3}{6} = -\tfrac{32}{6} = -\tfrac{16}{3}.
Logo
I_{2} = -\tfrac{16}{3}.

Passo 8

A integral total é a soma das duas partes:
\iint_{D}(y-5x)\,dx\,dy = I_{1}+I_{2} = 3 + \left(-\tfrac{16}{3}\right).

Resposta

-\dfrac{7}{3}

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