Exercício 14. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Informações dadas e o que se pede:
- Função a ser integrada:
. - Região
é limitada por três retas: , e . - Objetivo: calcular a integral dupla da função sobre a região
.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar os pontos de interseção das retas para descobrir a forma de
.
Interseção entre
e
:
portanto ponto
.
Interseção entre
e
:
portanto ponto
.
Interseção entre
e
:
substituindo em uma das retas:
, logo ponto
.
Portanto os vértices da região são
,
e
.
Passo 3
Interpretando esses vértices,
é um triângulo com base no eixo
entre
e
e vértice inferior em
.
Para montar a integral como iterada, é conveniente usar fatias verticais (integração em
primeiro, depois em
). Observando as retas:
- Para
entre e , a aresta inferior do triângulo é e a aresta superior é . - Para
entre e , a aresta inferior é e a aresta superior é .
Por isso vamos dividir a integral em duas partes, uma para
e outra para
.
Passo 4
Escrevendo a integral como soma de duas integrais iteradas:
Passo 5
Calculemos a integral interna genérica
, que serve para os dois casos com
sendo a função do limite inferior.
Integral em
:
porque ao integrar em
,
é tratado como constante. Avaliando de
até
:
Passo 6
Agora aplicamos isso ao primeiro trecho, onde
e
.
Substituindo
:
Expandindo e simplificando:
Então o integrando em
fica
Integrando em
de
a
:
Antiderivada término a termo:
Portanto
Avaliação: em
dá
. Em
:
Logo
Passo 7
Agora o segundo trecho, com
e
.
Usando a expressão genérica
com
:
Expandindo:
então o integrando fica
Integrando em
de
a
:
Antiderivadas:
Portanto
Somando as frações com denominador
:
Logo
Passo 8
A integral total é a soma das duas partes: