Calcule os limites.
(3.) \lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 r} \mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)

Passo 1

Listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • A expressão a limitar é \displaystyle e^{-3r}\mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\sin^{2} t}\mathbf{j}+\cos 2t\,\mathbf{k}.
  • A variável que tende a zero é \,t\to 0.
  • A letra r aparece, mas não depende de t; trata-se, portanto, de uma constante em relação ao limite.
    O que o enunciado pede: calcular
\lim_{t\to 0}\left(e^{-3r}\mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\sin^{2} t}\mathbf{j}+\cos 2t\,\mathbf{k}\right).

Passo 2

Regra prática para limites de funções vetoriais (explicação didática):
  • Uma função vetor pode ser tratada componente a componente: se \mathbf{F}(t)=F_1(t)\mathbf{i}+F_2(t)\mathbf{j}+F_3(t)\mathbf{k} e todos os limites \lim_{t\to 0}F_1(t),\\ \lim_{t\to 0}F_2(t),\\ \lim_{t\to 0}F_3(t) existirem, então
\lim_{t\to 0}\mathbf{F}(t)=\left(\lim_{t\to 0}F_1(t)\right)\mathbf{i}+\left(\lim_{t\to 0}F_2(t)\right)\mathbf{j}+\left(\lim_{t\to 0}F_3(t)\right)\mathbf{k}.
Vou aplicar isso aqui: calcular cada limite escalares separadamente e depois juntar.

Passo 3

Calcular o limite da componente \mathbf{i}:
  • A componente é \,F_1(t)=e^{-3r}. Como F_1 NÃO depende de t, seu limite quando t\to 0 é o próprio valor:
\lim_{t\to 0}e^{-3r}=e^{-3r}.
Observação didática: funções constantes têm limite igual ao próprio valor; a função exponencial é contínua, então não há surpresa aqui.

Passo 4

Calcular o limite da componente \mathbf{j}:
  • A componente é \,F_2(t)=\dfrac{t^{2}}{\sin^{2}t}.
  • Reescreve-se como
\frac{t^{2}}{\sin^{2}t}=\left(\frac{t}{\sin t}\right)^{2}.
  • Usamos o limite fundamental (conhecido e muito usado): \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Isso implica \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin t}=1. (Intuição: para ângulos pequenos \sin t\approx t; formalmente pode-se obter por desigualdades geométricas ou pela série de Taylor \sin t=t-\tfrac{t^{3}}{6}+\cdots.)
  • Portanto
\lim_{t\to 0}\left(\frac{t}{\sin t}\right)^{2}=\left(\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin t}\right)^{2}=1^{2}=1.
Assim \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{t^{2}}{\sin^{2}t}=1.

Passo 5

Calcular o limite da componente \mathbf{k}:
  • A componente é \,F_3(t)=\cos 2t.
  • A função cosseno é contínua, então o limite é o cosseno do limite do argumento:
\lim_{t\to 0}\cos 2t=\cos\bigl(2\cdot 0\bigr)=\cos 0=1.
(Explicação rápida: continuidade significa que pequenos ajustes em t produzem pequenos ajustes em \cos 2t, logo substitui-se t=0.)

Passo 6

Juntar os resultados componentes (finalizando a montagem do limite vetor):
  • Componentes limites obtidas:
    • \mathbf{i}: e^{-3r}
    • \mathbf{j}: 1
    • \mathbf{k}: 1
  • Portanto
\lim_{t\to 0}\left(e^{-3r}\mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\sin^{2} t}\mathbf{j}+\cos 2t\,\mathbf{k}\right)=e^{-3r}\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Resposta

e^{-3r}\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

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