Calcule os limites.
(3.)
(3.)
Passo 1
Listar o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- A expressão a limitar é
. - A variável que tende a zero é
. - A letra
aparece, mas não depende de ; trata-se, portanto, de uma constante em relação ao limite.
O que o enunciado pede: calcular
Passo 2
Regra prática para limites de funções vetoriais (explicação didática):
- Uma função vetor pode ser tratada componente a componente: se
e todos os limites existirem, então
Vou aplicar isso aqui: calcular cada limite escalares separadamente e depois juntar.
Passo 3
Calcular o limite da componente
:
- A componente é
. Como NÃO depende de , seu limite quando é o próprio valor:
Observação didática: funções constantes têm limite igual ao próprio valor; a função exponencial é contínua, então não há surpresa aqui.
Passo 4
Calcular o limite da componente
:
- A componente é
. - Reescreve-se como
- Usamos o limite fundamental (conhecido e muito usado):
. Isso implica . (Intuição: para ângulos pequenos ; formalmente pode-se obter por desigualdades geométricas ou pela série de Taylor .) - Portanto
Assim
.
Passo 5
Calcular o limite da componente
:
- A componente é
. - A função cosseno é contínua, então o limite é o cosseno do limite do argumento:
(Explicação rápida: continuidade significa que pequenos ajustes em
produzem pequenos ajustes em
, logo substitui-se
.)
Passo 6
Juntar os resultados componentes (finalizando a montagem do limite vetor):
- Componentes limites obtidas:
-
: -
: -
:
-
- Portanto