2^{\mathrm{o}} ) Prove que o ponto médio do segmento de reta que liga P\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) a Q\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) é M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}, \frac{z 1+z_{2}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço:
  • P\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)
  • Q\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)
E pede para provar que o ponto médio do segmento PQ é
M\!\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\;\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\;\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right).
Resumo do que se pede: mostrar que o ponto que fica “no meio” entre P e Q tem coordenadas iguais às médias aritméticas das coordenadas correspondentes de P e Q.

Passo 2

Definição concreta de “ponto médio” usada aqui (sem tecnicismos): um ponto M é o ponto médio do segmento PQ quando está sobre o segmento que une P a Q e divide esse segmento em duas partes congruentes, isto é, quando as distâncias PM e MQ são iguais.
Para trabalhar com isso é útil usar vetores posição e vetores diferença: o vetor que vai de A a B tem coordenadas obtidas subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B.

Passo 3

Escrevendo vetores diferença entre os pontos:
\overrightarrow{PQ} = (x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1},\;z_{2}-z_{1}).
Se M(x,y,z) é um ponto no segmento PQ, então o vetor \overrightarrow{PM} tem coordenadas
\overrightarrow{PM} = (x-x_{1},\;y-y_{1},\;z-z_{1}).
E o vetor \overrightarrow{MQ} tem coordenadas
\overrightarrow{MQ} = (x_{2}-x,\;y_{2}-y,\;z_{2}-z).

Passo 4

Usamos a característica do ponto médio: os vetores \overrightarrow{PM} e \overrightarrow{MQ} são iguais em direção e módulo (na verdade são exatamente iguais se orientados de P para M e de M para Q), ou equivalentemente \overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}. Outra maneira equivalente e conveniente é escrever
\overrightarrow{PM}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{PQ},
isto porque o vetor de P até o ponto do meio tem metade do vetor de P até Q.

Passo 5

Usando a igualdade vetorial \overrightarrow{PM}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} substituímos as coordenadas:
(x-x_{1},\;y-y_{1},\;z-z_{1})=\tfrac{1}{2}(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1},\;z_{2}-z_{1}).
Igualando componente a componente obtemos três equações simples:
x-x_{1}=\tfrac{1}{2}(x_{2}-x_{1}),
y-y_{1}=\tfrac{1}{2}(y_{2}-y_{1}),
z-z_{1}=\tfrac{1}{2}(z_{2}-z_{1}).
Agora isolamos x, y e z em cada equação:
x = x_{1}+\tfrac{1}{2}(x_{2}-x_{1})=\tfrac{1}{2}(x_{1}+x_{2}),
y = y_{1}+\tfrac{1}{2}(y_{2}-y_{1})=\tfrac{1}{2}(y_{1}+y_{2}),
z = z_{1}+\tfrac{1}{2}(z_{2}-z_{1})=\tfrac{1}{2}(z_{1}+z_{2}).
Portanto M tem coordenadas \big(\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\tfrac{y_{1}+y_{2}}{2},\tfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\big).

Passo 6

Comentário sobre unicidade e outro modo de ver (para fixar a ideia): a solução acima é única, porque as três equações em x,y,z têm solução única. Uma outra forma muito comum é usar a representação paramétrica dos pontos do segmento: todo ponto R no segmento PQ pode ser escrito como
R(t)=(1-t)P+tQ
com 0\le t\le 1. Nesse caso R(t) tem coordenadas
\big((1-t)x_{1}+t x_{2},\;(1-t)y_{1}+t y_{2},\;(1-t)z_{1}+t z_{2}\big).
O ponto médio corresponde a t=\tfrac{1}{2}, que leva exatamente às mesmas médias aritméticas das coordenadas: x=\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2}, etc.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para sentir o resultado: se P(0,0,0) e Q(2,4,6), a fórmula dá
M\!\left(\tfrac{0+2}{2},\tfrac{0+4}{2},\tfrac{0+6}{2}\right)=M(1,2,3),
que é mesmo o ponto central entre P e Q.

Resposta

\displaystyle M\!\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\;\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\;\frac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)

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