2^{\mathrm{o}} ) Prove que o ponto médio do segmento de reta que liga P\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) a Q\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) é M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}, \frac{z 1+z_{2}}{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço:
P\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)
Q\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)
E pede para provar que o ponto médio do segmento PQ é
Resumo do que se pede: mostrar que o ponto que fica “no meio” entre P e Q tem coordenadas iguais às médias aritméticas das coordenadas correspondentes de P e Q.
Passo 2
Definição concreta de “ponto médio” usada aqui (sem tecnicismos): um ponto M é o ponto médio do segmento PQ quando está sobre o segmento que une P a Q e divide esse segmento em duas partes congruentes, isto é, quando as distâncias PM e MQ são iguais.
Para trabalhar com isso é útil usar vetores posição e vetores diferença: o vetor que vai de A a B tem coordenadas obtidas subtraindo as coordenadas de A das coordenadas de B.
Usamos a característica do ponto médio: os vetores \overrightarrow{PM} e \overrightarrow{MQ} são iguais em direção e módulo (na verdade são exatamente iguais se orientados de P para M e de M para Q), ou equivalentemente \overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MQ}. Outra maneira equivalente e conveniente é escrever
Igualando componente a componente obtemos três equações simples:
x-x_{1}=\tfrac{1}{2}(x_{2}-x_{1}),
y-y_{1}=\tfrac{1}{2}(y_{2}-y_{1}),
z-z_{1}=\tfrac{1}{2}(z_{2}-z_{1}).
Agora isolamos x, y e z em cada equação:
x = x_{1}+\tfrac{1}{2}(x_{2}-x_{1})=\tfrac{1}{2}(x_{1}+x_{2}),
y = y_{1}+\tfrac{1}{2}(y_{2}-y_{1})=\tfrac{1}{2}(y_{1}+y_{2}),
z = z_{1}+\tfrac{1}{2}(z_{2}-z_{1})=\tfrac{1}{2}(z_{1}+z_{2}).
Portanto M tem coordenadas \big(\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\tfrac{y_{1}+y_{2}}{2},\tfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\big).
Passo 6
Comentário sobre unicidade e outro modo de ver (para fixar a ideia): a solução acima é única, porque as três equações em x,y,z têm solução única. Uma outra forma muito comum é usar a representação paramétrica dos pontos do segmento: todo ponto R no segmento PQ pode ser escrito como