Exercício 1.14. Calcule.
\int\left(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{x \sqrt{x}}{4}\right) \mathrm{d} x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\Bigl(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}}{4}\Bigr)\,dx.
Este é um caso de integração de potências, onde vamos usar a regra
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Reescrevemos cada termo em forma de potência de x:
\frac{3}{\sqrt{x}}=3x^{-\tfrac12}, \quad \frac{x\sqrt{x}}{4}=\frac{1}{4}x\cdot x^{\tfrac12}=\frac{1}{4}x^{\tfrac32}.
Logo a integral fica
\int\Bigl(3x^{-\tfrac12}-\tfrac14\,x^{\tfrac32}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo:
Para 3x^{-\tfrac12}:
\int 3x^{-\tfrac12}\,dx =3\int x^{-\tfrac12}\,dx =3\cdot\frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} =3\cdot\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} =6x^{\tfrac12}.
Para \tfrac14\,x^{\tfrac32}:
\int \tfrac14\,x^{\tfrac32}\,dx =\tfrac14\int x^{\tfrac32}\,dx =\tfrac14\cdot\frac{x^{\tfrac32+1}}{\tfrac32+1} =\tfrac14\cdot\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} =\tfrac14\cdot\frac{2}{5}x^{\tfrac52} =\tfrac{1}{10}x^{\tfrac52}.

Passo 4

Subtraindo o segundo resultado do primeiro e adicionando a constante de integração C, temos
6x^{\tfrac12}-\frac{1}{10}x^{\tfrac52}+C.

Resposta

6\sqrt{x}-\frac{x^{5/2}}{10}+C.

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