Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = x\,y^{3}\,(1+x^{2})^{-\tfrac12},
com condição inicial y(0)=1.
Este é um caso de EDO de variáveis separáveis: vamos separar y e x e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo y'= \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = x\,y^{3}\,(1+x^{2})^{-\tfrac12} \quad\Longrightarrow\quad y^{-3}\,dy = x\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int y^{-3}\,dy = \int x\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}\,dx.
No lado esquerdo,
\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2\,y^{2}} + C_{1}.
No direito, use t=1+x^{2}, dt=2x\,dx:
\int x\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}\,dx = \int \frac{1}{2}\,t^{-\tfrac12}\,dt = t^{\tfrac12} + C_{2} = \sqrt{1+x^{2}} + C_{2}.

Passo 4

Igualando as integrais e agrupando as constantes,
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} + C.
Use x=0, y(0)=1 para achar C:
-\frac{1}{2\cdot1^{2}} = \sqrt{1+0^{2}} + C \quad\Longrightarrow\quad -\frac12 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac32.

Passo 5

Substitua C e isole y:
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \sqrt{1+x^{2}} - \tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^{2}} = 3 - 2\sqrt{1+x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}.
Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x) = \bigl(3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\bigr)^{-\tfrac12}.

Resposta

y(x) = \bigl(3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\bigr)^{-\tfrac12}.

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