Exercício 1.14. Calcule.
\int \frac{\sqrt{x}+1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\sqrt{x}+1}{x}\,dx
Aqui usamos integração de funções-poder (potências de x) e integração de x^{-1} que gera \ln|x|.

Passo 2

Reescrevemos \sqrt{x} como x^{1/2} e separamos a fração:
\frac{\sqrt{x}+1}{x} = \frac{x^{1/2}}{x} + \frac{1}{x} = x^{-1/2} + x^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência para \int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} (quando n\neq -1) e reconhecemos \int x^{-1}\,dx = \ln|x|:
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\,x^{1/2},
\int x^{-1}\,dx = \ln|x|.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int \frac{\sqrt{x}+1}{x}\,dx = 2\,x^{1/2} + \ln|x| + C.

Resposta

2\sqrt{x} + \ln|x| + C

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