Exercício 15 Determine as raízes de z^{2}+2 i z+24 i=0 e localize-as no plano complexo

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes de z^{2} + 2i\,z + 24i = 0 e posicioná-las no plano complexo. O conteúdo por trás disso é a resolução de uma equação quadrática em \mathbb{C} usando a fórmula de Bhaskara e a extração de raiz quadrada de um número complexo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da equação a = 1, b = 2i e c = 24i.
A fórmula geral para as raízes de a z^{2} + b z + c = 0 é
z \;=\; \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta = b^{2} - 4ac.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = (2i)^{2} - 4\cdot1\cdot24i \;=\; -4 \;-\; 96i.

Passo 4

Para extrair \sqrt{\Delta}, buscamos números reais u e v tais que
(u + iv)^{2} \;=\; -4 \;-\; 96i.
Expandindo, temos o sistema
u^{2} - v^{2} = -4, \quad 2\,u\,v = -96.
Da segunda equação vem v = -\tfrac{48}{u}. Substituindo na primeira e resolvendo para u, encontramos
u \approx 6{,}78546, \quad v \approx -7{,}07285.
Assim podemos tomar
\sqrt{\Delta} \approx 6{,}78546 \;-\; 7{,}07285\,i.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
z = \frac{-2i \pm \bigl(6{,}78546 - 7{,}07285\,i\bigr)}{2}.
Isso gera as duas raízes aproximadas
z_{1} \approx 3{,}39273 \;-\; 4{,}53643\,i, \quad z_{2} \approx -3{,}39273 \;+\; 2{,}53643\,i.

Passo 6

No plano complexo, z_{1} tem parte real positiva e imaginária negativa, logo está no quarto quadrante.
z_{2} tem parte real negativa e imaginária positiva, ficando no segundo quadrante.

Resposta

As raízes da equação são
z_{1} \approx 3{,}3927 \;-\; 4{,}5364\,i, \quad z_{2} \approx -3{,}3927 \;+\; 2{,}5364\,i.
No plano complexo, z_{1} está no quarto quadrante e z_{2} no segundo quadrante.

Exercícios relacionados