Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\quad \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}
converge ou diverge. As informações dadas são:
  • O termo geral da série é \dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} para n=1,2,3,\dots.
  • A soma é de n=1 até n\to\infty.
  • Note que todos os termos são positivos (cada denominador é positivo para n\ge1).

Passo 2

Idéia do método (explicando o que vamos usar): quando termos têm produto de dois fatores lineares no denominador, costuma funcionar bem tentar decompor em frações parciais do tipo
\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1},
porque isso pode gerar uma soma telescópica (ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos). Vou mostrar passo a passo como fazer essa decomposição.

Passo 3

Encontrar A\) e \(B\). Começo juntando os termos em um único quociente: \[\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}=\frac{A(3n+1)+B(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}.
Queremos que o numerador valha 1 para todo n. Assim
A(3n+1)+B(3n-2)=1\quad\text{para todo }n.
Agrupo em potências de n:
3n(A+B)+(A-2B)=1.
Como isso deve valer para todo n, os coeficientes devem coincidir: o coeficiente de n deve ser 0 e a constante deve ser 1. Logo obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A-2B=1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo na segunda: \[A-2(-A)=A+2A=3A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{3}.\] Então \(B=-\dfrac{1}{3}.]

Passo 4

Escrevo o termo geral com os coeficientes encontrados:
\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right).
Agora vejo o comportamento da soma parcial. Para N natural, a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} é
S_N=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} \text{para }n=1:&\quad \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right),\\\ \text{para }n=2:&\quad \frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right),\\\ \text{para }n=3:&\quad \frac{1}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{10}\right),\\\ &\\ \vdots\\\ \text{para }n=N:&\quad \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3N-2}-\frac{1}{3N+1}\right). \end{aligned}
Ao somar, observa-se que -\frac{1}{4} cancela com +\frac{1}{4}, -\frac{1}{7} cancela com +\frac{1}{7}, e assim por diante. Só permanecem o primeiro termo positivo da primeira parcela e o último termo negativo da última parcela. Portanto
S_N=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3N+1}\right).

Passo 5

Agora passo ao limite das somas parciais quando N\to\infty. Temos
\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3N+1}\right).
Como 3N+1\to\infty quando N\to\infty, segue que \dfrac{1}{3N+1}\to0. Portanto
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{3}(1-0)=\frac{1}{3}.
Isso mostra que as somas parciais convergem para \dfrac{1}{3}, então a série converge e seu valor é \dfrac{1}{3}.
Pequena observação final de técnica: séries com termos positivos e fatoráveis em produtos de fatores lineares muitas vezes telescopam após decomposição em frações parciais — é um truque clássico e rápido na prova. Exemplo parecido e simples é \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} que telescopa para 1.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3}