Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. As informações dadas são:
- O termo geral da série é
para . - A soma é de
até . - Note que todos os termos são positivos (cada denominador é positivo para
).
Passo 2
Idéia do método (explicando o que vamos usar): quando termos têm produto de dois fatores lineares no denominador, costuma funcionar bem tentar decompor em frações parciais do tipo
porque isso pode gerar uma soma telescópica (ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos). Vou mostrar passo a passo como fazer essa decomposição.
Passo 3
Encontrar
Queremos que o numerador valha
para todo
. Assim
Agrupo em potências de
:
Como isso deve valer para todo
, os coeficientes devem coincidir: o coeficiente de
deve ser
e a constante deve ser
. Logo obtemos o sistema
Da primeira equação
.]
Passo 4
Escrevo o termo geral com os coeficientes encontrados:
Agora vejo o comportamento da soma parcial. Para
natural, a soma parcial
é
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
Ao somar, observa-se que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Só permanecem o primeiro termo positivo da primeira parcela e o último termo negativo da última parcela. Portanto
Passo 5
Agora passo ao limite das somas parciais quando
. Temos
Como
quando
, segue que
. Portanto
Isso mostra que as somas parciais convergem para
, então a série converge e seu valor é
.
Pequena observação final de técnica: séries com termos positivos e fatoráveis em produtos de fatores lineares muitas vezes telescopam após decomposição em frações parciais — é um truque clássico e rápido na prova. Exemplo parecido e simples é
que telescopa para
.