Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
(b) \quad \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}
converge ou diverge. A informação dada é a expressão do termo geral:
a_n=\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}\quad\text{para }n=1,2,3,\dots
Não há outras informações externas. O objetivo final é decidir convergência/divergência e, se convergente, obter o valor da soma (quando for possível).

Passo 2

Estratégia: observar que cada termo é uma fração racional cujo denominador é produto de dois fatores lineares em n. Isso sugere tentar decomposição em frações parciais para transformar o termo em uma diferença de dois termos simples. Quando uma série tem termos na forma de diferença de termos consecutivos (ou quase consecutivos), costuma ocorrer cancelamento em soma parcial — isso se chama série telescópica. Vou aplicar frações parciais e depois somar os primeiros N termos para ver se telescopa e se o limite das somas parciais existe.
Breve explicação do método (útil na prova):
  • Frações parciais: se tiver \dfrac{1}{(an+b)(cn+d)} podemos escrever como \dfrac{A}{an+b}+\dfrac{B}{cn+d} e resolver para A,B.
  • Série telescópica: se o termo geral pode ser escrito como diferença \,u_n - u_{n+1}\, (ou algo semelhante), então a soma parcial \sum_{n=1}^{N}(u_n-u_{n+1}) simplifica para u_1-u_{N+1}. O limite quando N\to\infty dá a soma total se u_{N+1}\to 0.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos A e B tais que
\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (3n-2)(3n+1) obtemos a identidade (em n):
1 = A(3n+1)+B(3n-2).
Reescrevendo o lado direito por coeficientes de n e constante:
1 = (3A+3B)\,n + (A-2B).
Como a igualdade vale para todo n, os coeficientes devem coincidir:
3A+3B=0,\qquad A-2B=1.
Da primeira equação vem A=-B. Substituindo na segunda:
(-B)-2B=1 \quad\Rightarrow\quad -3B=1 \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{3}.
Então A=-B=\tfrac{1}{3}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right).

Passo 4

Agora escrevemos a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} usando a forma encontrada:
S_N=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right).
Escrevendo alguns termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right) &=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{10}\right)+\cdots\\\ &\quad+\left(\frac{1}{3N-2}-\frac{1}{3N+1}\right). \end{aligned}
Observe que -\tfrac{1}{4} cancela com +\tfrac{1}{4}, -\tfrac{1}{7} cancela com +\tfrac{1}{7}, e assim por diante. Todo termo intermediário cancela, restando apenas o primeiro termo positivo e o último negativo. Portanto
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{3N+1}.
Multiplicando por \tfrac{1}{3} obtemos a soma parcial explícita:
S_N=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3N+1}\right).

Passo 5

Para decidir a convergência, tomamos o limite quando N\to\infty de S_N. Como
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{3N+1}=0,
temos
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{3}\left(1-0\right)=\frac{1}{3}.
Como as somas parciais têm limite finito, a série converge. Além disso, a soma da série é \tfrac{1}{3}.
Comentário final curto e motivador: este é um caso clássico de série telescópica — a técnica de frações parciais costuma ser a maneira mais rápida na prova. Se ficar travado, experimente sempre escrever os primeiros termos e ver se há cancelamento: isso costuma revelar telescopia.

Resposta

Converge e a soma é \tfrac{1}{3}