Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. A informação dada é a expressão do termo geral:
Não há outras informações externas. O objetivo final é decidir convergência/divergência e, se convergente, obter o valor da soma (quando for possível).
Passo 2
Estratégia: observar que cada termo é uma fração racional cujo denominador é produto de dois fatores lineares em
. Isso sugere tentar decomposição em frações parciais para transformar o termo em uma diferença de dois termos simples. Quando uma série tem termos na forma de diferença de termos consecutivos (ou quase consecutivos), costuma ocorrer cancelamento em soma parcial — isso se chama série telescópica. Vou aplicar frações parciais e depois somar os primeiros
termos para ver se telescopa e se o limite das somas parciais existe.
Breve explicação do método (útil na prova):
- Frações parciais: se tiver
podemos escrever como e resolver para . - Série telescópica: se o termo geral pode ser escrito como diferença
(ou algo semelhante), então a soma parcial simplifica para . O limite quando dá a soma total se .
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade (em
):
Reescrevendo o lado direito por coeficientes de
e constante:
Como a igualdade vale para todo
, os coeficientes devem coincidir:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
.
Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora escrevemos a soma parcial
usando a forma encontrada:
Escrevendo alguns termos para ver o cancelamento:
Observe que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Todo termo intermediário cancela, restando apenas o primeiro termo positivo e o último negativo. Portanto
Multiplicando por
obtemos a soma parcial explícita:
Passo 5
Para decidir a convergência, tomamos o limite quando
de
. Como
temos
Como as somas parciais têm limite finito, a série converge. Além disso, a soma da série é
.
Comentário final curto e motivador: este é um caso clássico de série telescópica — a técnica de frações parciais costuma ser a maneira mais rápida na prova. Se ficar travado, experimente sempre escrever os primeiros termos e ver se há cancelamento: isso costuma revelar telescopia.
Resposta
Converge e a soma é