Exercício 14. Se a distribuição conjunta de X e Y é dada pela seguinte densidade conjunta
f_{X, Y}(x, y)=\left.\left.2 e^{-(x+y)}\right|_{[0, y]}(x)\right|_{[0, \infty)}(y),
encontre
(a) A distribuição conjunta de X e X+Y.
(b) As distribuições marginais de X e de X+Y. Identifique-as

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta de (X,Y)
f_{X,Y}(x,y)=2e^{-(x+y)},\quad 0\le x\le y,\;y\ge0,
e pede (a) a densidade conjunta de U=X e V=X+Y; (b) as densidades marginais de X e de X+Y. O conteúdo usado será transformação de variáveis e integração para obter marginais.

Passo 2

Definimos a transformação
U = X,\quad V = X+Y.
Invertendo,
X = U,\quad Y = V - U.
O jacobiano em valor absoluto é
\biggl|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\biggr| =\begin{vmatrix}1&0\\\ -1&1\end{vmatrix}=1.
Precisamos também mapear o suporte: como 0\le x\le y e y\ge0, temos U\ge0 e V-U\ge U, isto é V\ge2U. Além disso V-U\ge0 V\ge U, mas o mais restritivo é V\ge2U.

Passo 3

A densidade conjunta de (U,V) é
f_{U,V}(u,v) =f_{X,Y}\bigl(u,v-u\bigr)\,\bigl|\det\bigr| =2\exp\bigl(-[u+(v-u)]\bigr) =2e^{-v},
para
u\ge0,\quad v\ge2u,
e vale zero fora daí.

Passo 4

Para obter a densidade marginal de X=U, integramos V de 2u até infinito:
f_X(u) =\int_{v=2u}^{\infty}2e^{-v}\,dv =2\bigl[e^{-v}\bigr]_{v=2u}^{v=\infty} =2e^{-2u},\quad u\ge0.
Isto identifica X\sim\mathrm{Exp}(\lambda=2).

Passo 5

Para obter a densidade marginal de V=X+Y, integramos u de 0 até v/2:
f_V(v) =\int_{u=0}^{v/2}2e^{-v}\,du =2e^{-v}\,\frac{v}{2} =v\,e^{-v},\quad v\ge0.
Isto identifica V\sim\Gamma(k=2,\;\text{rate}=1) (ou Erlang de ordem 2 com taxa 1).

Resposta

(a)
f_{X,\,X+Y}(u,v) =2e^{-v},\quad u\ge0,\;v\ge2u.
(b)
f_X(u)=2e^{-2u},\quad u\ge0\quad\bigl(\mathrm{Exp}(2)\bigr),
f_{X+Y}(v)=v\,e^{-v},\quad v\ge0\quad\bigl(\Gamma(2,1)\bigr).

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