Exercício 19. (Distribuição normal bivariada) Duas variáveis aleatórias
e Y tem distribuição normal bivariada com parâmetros
e
se sua função de densidade conjunta é dada por:
em que
and
.
(a) Mostre que
e
(b) Considerando a distribuição conjunta bivariada, mostre que
tem distribuição normal tal que
and
.
(a) Mostre que
(b) Considerando a distribuição conjunta bivariada, mostre que
Passo 1
O enunciado trata da distribuição normal bivariada com densidade
Queremos (a) mostrar que as marginais são
e
e (b) obter a distribuição condicional
. Para isso usaremos integração para as marginais e a definição de densidade condicional
Passo 2
Cálculo de
por integração em
. Fixando
, o expoente quadrático pode ser reescrito completando quadrado em
. De fato,
Então
Passo 3
Avalia-se a integral gaussiana
Substituindo em
cancela
e sobra
que é exatamente a densidade de
. De modo análogo integra-se em
para mostrar que
.
Passo 4
Agora a densidade condicional é
em que
é o quadrático bivariado e
. As constantes simplificam para
e o expoente remanescente, após cancelar o termo puro em
, fica
Portanto
Passo 5
Essa forma coincide com a densidade de uma normal de média
e variância
Resposta
(a)
e
.
(b) .
(b)