Exercício 14. Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensão do subespaço vetorial
do espaço vetorial real (
).
, para todo
e
, munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado define
e o subespaço
e o subespaço
Queremos encontrar uma base de
e sua dimensão. Vamos usar que, em
, toda
é da forma
e aplicar a condição
.
Passo 2
Calculemos a segunda derivada de
Temos
A condição
para todo
implica
Logo, todo polinômio em
é da forma
Passo 3
O conjunto dos polinômios de forma
é precisamente
Como
e
são linearmente independentes,
é uma base de
.
Passo 4
Como a base
tem dois vetores, a dimensão de
é
Resposta
Base de
:
Dimensão de :
Dimensão de