Exercício 14. Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ).
W \doteq\left\{p \in \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) ; p^{\prime \prime}(t)=0\right., para todo \left.t \in \mathbb{R}\right\} e V \doteq \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado define V=\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R})
e o subespaço
W=\bigl\{p\in\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) : p''(t)=0\text{ para todo }t\in\mathbb{R}\bigr\}.
Queremos encontrar uma base de W e sua dimensão. Vamos usar que, em \mathscr{P}_2(\mathbb{R}), toda p é da forma
p(t)=a\,t^2+b\,t+c,
e aplicar a condição p''(t)=0.

Passo 2

Calculemos a segunda derivada de
p(t)=a\,t^2+b\,t+c.
Temos
p'(t)=2a\,t+b, \qquad p''(t)=2a.
A condição p''(t)=0 para todo t implica
2a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0.
Logo, todo polinômio em W é da forma
p(t)=b\,t+c.

Passo 3

O conjunto dos polinômios de forma p(t)=b\,t+c é precisamente
W=\{b\,t+c : b,c\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{\,t,\,1\}.
Como t e 1 são linearmente independentes, \{\,1,\,t\} é uma base de W.

Passo 4

Como a base \{1,t\} tem dois vetores, a dimensão de W é
\dim W=2.

Resposta

Base de W: \{\,1,\,t\}
Dimensão de W: 2

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