Exercício 14. Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ).
Sejam A \doteq\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), W \doteq\left\{X \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A X=X\right\} e V \doteq M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.
Passo 1
O enunciado dá
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad W = \{X\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A\,X = X\}, \quad V = M_{2}(\mathbb{R}).
O conteúdo é Álgebra Linear: resolver a equação matricial A X = X, isto é, encontrar o núcleo do operador linear X\mapsto A X - X.]
Passo 2
Reescrevendo A X = X obtemos
(A - I_{2})\,X = 0.
Defina
B = A - I_{2}.
Passo 3
Calculemos
B = A - I_{2} = \begin{pmatrix}1&2\\\ 0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&2\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Seja
X = \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt] x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}.