Exercício 14. Encontrar em cada um dos itens abaixo uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real ( V,+, \cdot ).
Sejam A \doteq\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), W \doteq\left\{X \in M_{2}(\mathbb{R}) ; A X=X\right\} e V \doteq M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado dá
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad W = \{X\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A\,X = X\}, \quad V = M_{2}(\mathbb{R}).
O conteúdo é Álgebra Linear: resolver a equação matricial A X = X, isto é, encontrar o núcleo do operador linear X\mapsto A X - X.]

Passo 2

Reescrevendo A X = X obtemos
(A - I_{2})\,X = 0.
Defina
B = A - I_{2}.

Passo 3

Calculemos
B = A - I_{2} = \begin{pmatrix}1&2\\\ 0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&2\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Seja
X = \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt] x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}.
Multiplicando em bloco,
B\,X = \begin{pmatrix}0&2\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt] x_{21}&x_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\,x_{21}&2\,x_{22}\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Igualando a zero vem
2\,x_{21} = 0, \quad 2\,x_{22} = 0 \;\Longrightarrow\; x_{21} = 0,\; x_{22}=0.]

Passo 4

Portanto todo X\in W tem a forma
X = \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt]0&0\end{pmatrix},
com x_{11},x_{12}\in\mathbb{R} livres. Logo
W = \Bigl\{\alpha\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\[3pt]0&0\end{pmatrix} \mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.]

Passo 5

Uma base de W é
E_{11} = \begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix}, \quad E_{12} = \begin{pmatrix}0&1\\[3pt]0&0\end{pmatrix},
e a dimensão de W é
\dim(W) = 2.]

Resposta

Uma base de W é
\bigl\{\,\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}\bigr\},
e \dim(W)=2.

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