Exercício 14 Encontre exemplos de funções
, onde
, tais que:
A função
é contínua em
mas as funções
e
não são contínuas em
.
A função
Passo 1
Enunciado (em minhas palavras): preciso encontrar funções
e um ponto
tais que a soma
seja contínua em
, mas ambas
e
sejam descontinuas em
.
Informações dadas e pedido:
- Domínio é um intervalo
(posso escolher um intervalo conveniente). - Existe um ponto
— posso escolher um valor para facilitar. - Objetivo: apresentar exemplos explícitos de
e com as propriedades pedidas.
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser contínuo em
.
- Definição prática: uma função
é contínua em se e só se
- Para funções definidas por partes, é comum checar limites laterais:
Se as duas existem e são iguais a
, então
é contínua em
. Se as laterais são diferentes, a função é descontinua em
.
Explicação simples: para uma função constante
temos sempre
, então funções constantes são contínuas em todo lugar.
Passo 3
Escolha prática para o exame (escolhi algo simples que é fácil de justificar na prova):
- Tomo
e (qualquer intervalo contendo serve). - Defino
por partes como uma função degrau (saltou em ):
(Observação: toda a matemática acima está explicitada; em prova você pode desenhar mentalmente o degrau.)]
Passo 4
Mostro que
não é contínua em
.
- Calculo os limites laterais:
porque para
temos
(constante à esquerda).
porque para
temos
(constante à direita).
- Como as duas laterais são diferentes, o limite
não existe; portanto não é contínua em . (Não preciso nem comparar com , mas note que .)
Passo 5
Construo
de modo que a soma fique simples e contínua: tomo
. Ou seja
Passo 6
Mostro que
também não é contínua em
.
- Limites laterais de
:
- Como as laterais são diferentes,
não existe; logo não é contínua em .
Passo 7
Verifico que a soma
é contínua em
.
- Calculando ponto a ponto:
- Ou seja,
é a função constante . Pelo argumento didático anterior, função constante é contínua em todo ponto; em particular, é contínua em .
Passo 8
Comentário final (dica de prova): na prova você pode usar esse padrão geral — escolha qualquer função
que seja descontinua em
e então use
e
. A soma será a constante
(contínua) e ambos
e
herdarão a descontinuidade de
.