Exercício 14 Encontre exemplos de funções f, g: I \rightarrow \mathbb{R}, onde x_{0} \in I, tais que:
A função f+g é contínua em x_{0} mas as funções f e g não são contínuas em x_{0}.

Passo 1

Enunciado (em minhas palavras): preciso encontrar funções f,g: I\to\mathbb{R} e um ponto x_{0}\in I tais que a soma f+g seja contínua em x_{0}, mas ambas f e g sejam descontinuas em x_{0}.
Informações dadas e pedido:
  • Domínio é um intervalo I (posso escolher um intervalo conveniente).
  • Existe um ponto x_{0}\in I — posso escolher um valor para facilitar.
  • Objetivo: apresentar exemplos explícitos de f e g com as propriedades pedidas.

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser contínuo em x_{0}.
  • Definição prática: uma função h é contínua em x_{0} se e só se
\lim_{x\to x_{0}} h(x) = h(x_{0}).
  • Para funções definidas por partes, é comum checar limites laterais:
\lim_{x\to x_{0}^-} h(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to x_{0}^+} h(x).
Se as duas existem e são iguais a h(x_{0}), então h é contínua em x_{0}. Se as laterais são diferentes, a função é descontinua em x_{0}.
Explicação simples: para uma função constante c temos sempre \lim_{x\to x_{0}} c = c, então funções constantes são contínuas em todo lugar.

Passo 3

Escolha prática para o exame (escolhi algo simples que é fácil de justificar na prova):
  • Tomo I=\mathbb{R} e x_{0}=0 (qualquer intervalo contendo 0 serve).
  • Defino f por partes como uma função degrau (saltou em 0):
f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1, & x\ge 0. \end{cases}
(Observação: toda a matemática acima está explicitada; em prova você pode desenhar mentalmente o degrau.)]

Passo 4

Mostro que f não é contínua em 0.
  • Calculo os limites laterais:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0
porque para x<0 temos f(x)=0 (constante à esquerda).
\lim_{x\to 0^+} f(x)=1
porque para x>0 temos f(x)=1 (constante à direita).
  • Como as duas laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe; portanto f não é contínua em 0. (Não preciso nem comparar com f(0), mas note que f(0)=1.)

Passo 5

Construo g de modo que a soma fique simples e contínua: tomo g=-f. Ou seja
g(x)=-f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] -1, & x\ge 0. \end{cases}]

Passo 6

Mostro que g também não é contínua em 0.
  • Limites laterais de g:
\lim_{x\to 0^-} g(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0^+} g(x)=-1.
  • Como as laterais são diferentes, \lim_{x\to 0} g(x) não existe; logo g não é contínua em 0.

Passo 7

Verifico que a soma f+g é contínua em 0.
  • Calculando ponto a ponto:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(x)-f(x)=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Ou seja, f+g é a função constante 0. Pelo argumento didático anterior, função constante é contínua em todo ponto; em particular, f+g é contínua em 0.

Passo 8

Comentário final (dica de prova): na prova você pode usar esse padrão geral — escolha qualquer função d que seja descontinua em x_{0} e então use f=d e g=-d. A soma será a constante 0 (contínua) e ambos f e g herdarão a descontinuidade de d.

Resposta

f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1, & x\ge 0, \end{cases}
g(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] -1, & x\ge 0. \end{cases}]

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