é verdadeira ou falsa, justificando a resposta.
Listei as informações relevantes do enunciado: as fórmulas de f\] para \(x\neq2 e para x=2, e as duas ramificações da função h (uma para y\ge6 e outra para y<6). A resolução começa a partir do cálculo do limite de f em x\to2.]
Passo 2
Calcular \lim_{x\to2} f(x). Para x\neq2 temos
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Explico passo a passo a manipulação algébrica: fatoramos o numerador usando diferença de quadrados,
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Assim, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.
Portanto, quando x se aproxima de 2 por valores diferentes de 2, f(x)=x+2 e
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2} (x+2)=2+2=4.
Observação: a definição dada no enunciado também define f(2)=4, então f é de fato igual ao polinômio x+2 em todo ponto próximo de 2 (com continuidade em 2).
Passo 3
Avaliar h no valor encontrado: calcular h\!\big(\lim_{x\to2} f(x)\big)=h(4). Pela definição de h usamos a ramificação adequada: como 4<6, aplicamos h(y)=\dfrac{y^{2}}{18}. Logo
h(4)=\frac{4^{2}}{18}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}.
Portanto o lado direito da igualdade pedida vale \dfrac{8}{9}.
Passo 4
Calcular diretamente \lim_{x\to2} h[f(x)]. Para x próximo de 2 com x\neq2 já vimos que f(x)=x+2. Assim, para tais x temos
f(x)=x+2.
Para x suficientemente próximo de 2 (por exemplo em (1,3)) os valores f(x)=x+2 ficam próximos de 4, portanto sempre satisfazem f(x)<6. Isso significa que, nessa vizinhança de x=2, a aplicação de h sobre f(x) usa a fórmula h(y)=\dfrac{y^{2}}{18}. Logo, para x próximo de 2,
portanto os dois lados são iguais. A razão prática: \lim_{x\to2} f(x)=4 e h é contínua em y=4 porque 4 pertence à região y<6 onde h(y)=y^{2}/18 é uma expressão polinomial (portanto contínua). Uso aqui um resultado útil que você deve decorar para a prova: se \lim_{x\to a} f(x)=L e h for contínua em L, então \lim_{x\to a} h(f(x))=h(L). Foi exatamente o caso: L=4 e h é contínua em 4.
Um aviso prático: se h tivesse sido descontínua em L (por exemplo, definindo h(4) diferente do limite \lim_{y\to4} h(y)), a igualdade poderia falhar. Exemplo rápido: se h(y)=0 para y\neq4 e h(4)=1, e se f(x)\to4, então \lim_{x\to2} h[f(x)]=0 enquanto h(\lim f)=h(4)=1 — desigualdade. Esse exemplo mostra por que verificamos a continuidade de h no ponto limite.