Exercício 16 Considere as funções f, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dadas por f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & \text { para } x \neq 2 \\\\ 4, & \text { para } x=2\end{array} \quad e\right. h(y)=\left\{\begin{array}{rcc}0, & \text { para } & y \geq 6 \\\ \frac{y^{2}}{18}, & \text { para } & y<6\end{array}\right.. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas.
\lim _{x \rightarrow 2} h[f(x)]=h\left[\lim _{x \rightarrow 2} f(x)\right]

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\): \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & x\neq2,\\[6pt] 4, & x=2,\end{cases}
h(y)=\begin{cases}0, & y\ge 6,\\[4pt] \dfrac{y^{2}}{18}, & y<6.\end{cases}
A pergunta é verificar se a igualdade
\lim_{x\to 2} h[f(x)] \;=\; h\!\left[\lim_{x\to 2} f(x)\right]
é verdadeira ou falsa, justificando a resposta.
Listei as informações relevantes do enunciado: as fórmulas de f\] para \(x\neq2 e para x=2, e as duas ramificações da função h (uma para y\ge6 e outra para y<6). A resolução começa a partir do cálculo do limite de f em x\to2.]

Passo 2

Calcular \lim_{x\to2} f(x). Para x\neq2 temos
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}.
Explico passo a passo a manipulação algébrica: fatoramos o numerador usando diferença de quadrados,
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Assim, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.
Portanto, quando x se aproxima de 2 por valores diferentes de 2, f(x)=x+2 e
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2} (x+2)=2+2=4.
Observação: a definição dada no enunciado também define f(2)=4, então f é de fato igual ao polinômio x+2 em todo ponto próximo de 2 (com continuidade em 2).

Passo 3

Avaliar h no valor encontrado: calcular h\!\big(\lim_{x\to2} f(x)\big)=h(4). Pela definição de h usamos a ramificação adequada: como 4<6, aplicamos h(y)=\dfrac{y^{2}}{18}. Logo
h(4)=\frac{4^{2}}{18}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}.
Portanto o lado direito da igualdade pedida vale \dfrac{8}{9}.

Passo 4

Calcular diretamente \lim_{x\to2} h[f(x)]. Para x próximo de 2 com x\neq2 já vimos que f(x)=x+2. Assim, para tais x temos
f(x)=x+2.
Para x suficientemente próximo de 2 (por exemplo em (1,3)) os valores f(x)=x+2 ficam próximos de 4, portanto sempre satisfazem f(x)<6. Isso significa que, nessa vizinhança de x=2, a aplicação de h sobre f(x) usa a fórmula h(y)=\dfrac{y^{2}}{18}. Logo, para x próximo de 2,
h[f(x)]=\frac{(f(x))^{2}}{18}=\frac{(x+2)^{2}}{18}.
Agora tomamos o limite quando x\to2:
\lim_{x\to2} h[f(x)]=\lim_{x\to2}\frac{(x+2)^{2}}{18}=\frac{(2+2)^{2}}{18}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}.

Passo 5

Comparação e interpretação teórica (didática). Obtivemos
\lim_{x\to2} h[f(x)]=\frac{8}{9} \qquad\text{e}\qquad h\!\left[\lim_{x\to2} f(x)\right]=\frac{8}{9},
portanto os dois lados são iguais. A razão prática: \lim_{x\to2} f(x)=4 e h é contínua em y=4 porque 4 pertence à região y<6 onde h(y)=y^{2}/18 é uma expressão polinomial (portanto contínua). Uso aqui um resultado útil que você deve decorar para a prova: se \lim_{x\to a} f(x)=L e h for contínua em L, então \lim_{x\to a} h(f(x))=h(L). Foi exatamente o caso: L=4 e h é contínua em 4.
Um aviso prático: se h tivesse sido descontínua em L (por exemplo, definindo h(4) diferente do limite \lim_{y\to4} h(y)), a igualdade poderia falhar. Exemplo rápido: se h(y)=0 para y\neq4 e h(4)=1, e se f(x)\to4, então \lim_{x\to2} h[f(x)]=0 enquanto h(\lim f)=h(4)=1 — desigualdade. Esse exemplo mostra por que verificamos a continuidade de h no ponto limite.

Resposta

Verdadeira

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