Exercício 14. Para as matrizes A e B dadas a seguir, calcule (A+B)^{2} e calcule A^{2}+2 A B+B^{2}. Em seguida explique porque a igualdade (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} em geral não é válida para matrizes.
A=\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{rr} 0 & 4 \\\\ 2 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 4\\[6pt]2 & -1\end{pmatrix}
e pede para calcular (A+B)^{2} e também A^{2}+2AB+B^{2}. O conteúdo aqui é soma e multiplicação de matrizes, lembrando que, ao contrário dos números, em geral AB\neq BA.]

Passo 2

Calcular A+B.
A+B = \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 4\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+0 & -1+4\\[3pt]0+2 & 1+(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3\\[3pt]2 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular (A+B)^{2}=(A+B)(A+B).
(A+B)^{2} = \begin{pmatrix}1 & 3\\[3pt]2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3\\[3pt]2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 3\cdot2 & 1\cdot3 + 3\cdot0\\[6pt] 2\cdot1 + 0\cdot2 & 2\cdot3 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 3\\[3pt]2 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{2}=A\cdot A.
A^{2} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-1)\cdot0 & 1\cdot(-1) + (-1)\cdot1\\[6pt] 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot(-1) + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular AB.
AB = \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 4\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + (-1)\cdot2 & 1\cdot4 + (-1)\cdot(-1)\\[6pt] 0\cdot0 + 1\cdot2 & 0\cdot4 + 1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 5\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular B^{2}=B\cdot B.
B^{2} = \begin{pmatrix}0 & 4\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 4\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 4\cdot2 & 0\cdot4 + 4\cdot(-1)\\[6pt] 2\cdot0 + (-1)\cdot2 & 2\cdot4 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & -4\\[3pt]-2 & 9\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular A^{2}+2AB+B^{2}. Primeiro 2AB:
2AB = 2\begin{pmatrix}-2 & 5\\[3pt]2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 10\\[3pt]4 & -2\end{pmatrix}.
Agora somar tudo:
A^{2}+2AB+B^{2} = \begin{pmatrix}1 & -2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4 & 10\\[3pt]4 & -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}8 & -4\\[3pt]-2 & 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-4+8 & -2+10-4\\[6pt]0+4-2 & 1-2+9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 4\\[3pt]2 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 8

Comparando os resultados:
(A+B)^{2} = \begin{pmatrix}7 & 3\\[3pt]2 & 6\end{pmatrix}, \quad A^{2}+2AB+B^{2} = \begin{pmatrix}5 & 4\\[3pt]2 & 8\end{pmatrix}.
Eles são diferentes porque, para matrizes, em geral AB\neq BA e a expansão
(A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2}
não se reduz a A^{2}+2AB+B^{2} quando AB\neq BA.]

Resposta

(A+B)^{2} = \begin{pmatrix}7 & 3\\\ 2 & 6\end{pmatrix} A^{2} + 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix}5 & 4\\\ 2 & 8\end{pmatrix}
A identidade (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} não vale em geral porque AB\neq BA.

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