Questão 4: (6 pts) Dado o sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{c}2 x+y+z=0 \\\\ -x+y+z=0 \\\ y+z=0\end{array}\right.
Determine o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} determinado por este sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo em \mathbb{R}^3:\r
\begin{cases} 2x + y + z = 0,\\\\ -\,x + y + z = 0,\\\ y + z = 0.
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear homogêneo e descrição do espaço solução (subespaço vetorial). Vamos resolver por substituição para encontrar a forma paramétrica dos vetores solução.

Passo 2

Da terceira equação\r
y + z = 0\r
segue-se imediatamente que\r
y = -\,z.

Passo 3

Substituindo y = -\,z na segunda equação\r
-\,x + y + z = 0\r
temos\r
-\,x + (-\,z) + z = -\,x = 0,\r
logo\r
x = 0.

Passo 4

A primeira equação\r
2x + y + z = 0\r
vira\r
2\cdot0 + (-\,z) + z = 0,\r
que se satisfaz para qualquer z. Portanto o único parâmetro livre é z. Chamando z = t, obtemos\r
(x,y,z) = (0,\,-t,\,t) = t\,(0,\,-1,\,1).

Passo 5

Concluímos que o espaço solução é a reta através da origem gerada por (0,-1,1), ou seja,\r
\{\,t\,(0,\,-1,\,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

O subespaço vetorial solução é \r
\mathrm{Span}\{(0,-1,1)\} = \{t\,(0,-1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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