Questão 5: ( 5 pts) [Questão Extra] Prove que o conjunto de todos os pares de números reis da forma (x, 1), com a seguinte operações
(a, 1)+(b, 1)=(a+b, 1) \text { e } \alpha(y, 1)=(\alpha y, 1)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = \{(x,1)\mid x\in\mathbb{R}\}
com as operações
(a,1)+(b,1)=(a+b,1), \quad \alpha\,(x,1)=(\alpha x,1).
O objetivo é mostrar que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, ou seja, verificar que (V,+) é um grupo abeliano e que a multiplicação escalar satisfaz os axiomas de espaço vetorial.

Passo 2

Verificamos que (V,+) é um grupo abeliano.
  1. Fechamento: se (a,1),(b,1)\in V, então
(a,1)+(b,1)=(a+b,1)\in V.
  1. Associatividade: para (a,1),(b,1),(c,1)\in V,
\bigl((a,1)+(b,1)\bigr)+(c,1) =((a+b),1)+(c,1) =((a+b)+c,1) =(a+(b+c),1) =(a,1)+\bigl((b,1)+(c,1)\bigr).
  1. Comutatividade:
(a,1)+(b,1)=(a+b,1)=(b+a,1)=(b,1)+(a,1).

Passo 3

Ainda em (V,+), encontramos o elemento neutro e os inversos:
  1. Neutro aditivo: (0,1)\in V satisfaz
(a,1)+(0,1)=(a+0,1)=(a,1).
  1. Inverso aditivo de (a,1) é (-a,1), pois
(a,1)+(-a,1)=(a+(-a),1)=(0,1).

Passo 4

Agora checamos os axiomas de multiplicação escalar sobre V:
  1. Fechamento: para \alpha\in\mathbb{R} e (x,1)\in V,
\alpha\,(x,1)=(\alpha x,1)\in V.
  1. Distributividade em relação à soma em V:
\alpha\bigl((x,1)+(y,1)\bigr) =\alpha\,(x+y,1) =(\alpha(x+y),1) =(\alpha x+\alpha y,1) =(\alpha x,1)+(\alpha y,1).
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(\alpha+\beta)(x,1)=((\alpha+\beta)x,1) =(\alpha x+\beta x,1) =(\alpha x,1)+(\beta x,1).
  1. Compatibilidade de escalares:
\alpha\bigl(\beta(x,1)\bigr) =\alpha\,(\beta x,1) =((\alpha\beta)x,1) =(\alpha\beta)(x,1).
  1. Neutro escalar:
1\,(x,1)=(1\cdot x,1)=(x,1).

Passo 5

Como (V,+) é um grupo abeliano e a multiplicação escalar satisfaz todos os axiomas exigidos, concluímos que V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

O conjunto V=\{(x,1)\mid x\in\mathbb{R}\}, com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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