Questão 5: ( 5 pts) [Questão Extra] Prove que o conjunto de todos os pares de números reis da forma
, com a seguinte operações
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
O objetivo é mostrar que
é um espaço vetorial sobre
, ou seja, verificar que
é um grupo abeliano e que a multiplicação escalar satisfaz os axiomas de espaço vetorial.
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano.
- Fechamento: se
, então
- Associatividade: para
,
- Comutatividade:
Passo 3
Ainda em
, encontramos o elemento neutro e os inversos:
- Neutro aditivo:
satisfaz
- Inverso aditivo de
é , pois
Passo 4
Agora checamos os axiomas de multiplicação escalar sobre
:
- Fechamento: para
e ,
- Distributividade em relação à soma em
:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Compatibilidade de escalares:
- Neutro escalar:
Passo 5
Como
é um grupo abeliano e a multiplicação escalar satisfaz todos os axiomas exigidos, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
, com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre
.