Calcule os limites usando as propriedades
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} x^{2} y+y^{3}-\operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\bigl(x^{2}y + y^{3} - \sin(xy)\bigr).
Vamos usar que limite de soma (ou diferença) é soma (ou diferença) de limites, limite de produto é produto de limites, e que \sin é contínua.

Passo 2

Pela propriedade de soma e diferença de limites,
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\bigl(x^{2}y + y^{3} - \sin(xy)\bigr) = \lim_{(x,y)\to(0,1)}x^{2}y \;+\;\lim_{(x,y)\to(0,1)}y^{3} \;-\;\lim_{(x,y)\to(0,1)}\sin(xy).

Passo 3

Para \lim_{(x,y)\to(0,1)}x^{2}y, como produto de funções contínuas,
\lim_{(x,y)\to(0,1)}x^{2}y = \bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}x^{2}\bigr)\,\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}y\bigr) = 0^{2}\cdot1 = 0.

Passo 4

Para \lim_{(x,y)\to(0,1)}y^{3}, como potência de função contínua,
\lim_{(x,y)\to(0,1)}y^{3} = \bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}y\bigr)^{3} = 1^{3} = 1.

Passo 5

Para \lim_{(x,y)\to(0,1)}\sin(xy), como \sin é contínua,
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\sin(xy) = \sin\Bigl(\lim_{(x,y)\to(0,1)}xy\Bigr) = \sin(0\cdot1) = \sin(0) = 0.

Passo 6

Somando e subtraindo os resultados:
0 \;+\; 1 \;-\; 0 \;=\; 1.

Resposta

1

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