Exercício 14 Mostrar que se uma função f admite um limite
\lambda quando x tende para x 0 , este limite é único.
Solução : Vamos começar definindo um limite:
\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D}_{\mathrm{f}}\left|\mathrm{x}-\mathrm{x}_{0}\right| \leq \delta \Rightarrow|\mathrm{f}(\mathrm{x})-\lambda| \leq \varepsilon
Vamos provar pelo absurdo.
Para isso, supomos que existe um
\tilde{\lambda} diferente de
\lambda tal que f tende também a
\tilde{\lambda} em
\mathrm{x}_{0}.
Por definição temos então :
\forall \varepsilon>0 \exists \tilde{\delta}>0 \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D}_{\mathrm{f}}\left|\mathrm{x}-\mathrm{x}_{0}\right| \leq \tilde{\delta} \Rightarrow|\mathrm{f}(\mathrm{x})-\tilde{\lambda}| \leq \varepsilon
Seja então
\varepsilon>0 qualquer.
Vamos escolher
\delta e
\tilde{\delta} como anteriormente, e vamos definir
\beta=\min (\delta, \tilde{\delta}).
Segundo a desigualdade triangular :
|\lambda-\tilde{\lambda}| \leq|\lambda-\mathrm{f}(\mathrm{x})|+|\mathrm{f}(\mathrm{x})-\tilde{\lambda}|
Mas escolhendo
x tal que
\left|x-x_{0}\right| \leq \beta, obtemos :
|\lambda-\tilde{\lambda}| \leq \varepsilon+\varepsilon \leq 2 \varepsilon
Acabamos então de provar que :
\forall \varepsilon>0|\lambda-\tilde{\lambda}| \leq \varepsilon
Mas segundo um exercício do capítulo anterior, vimos que isso implicava que
|\lambda-\tilde{\lambda}|=0 ou que
\lambda=\tilde{\lambda}.
Isso contradiz nossa hipótese, por isso obtemos o resultado.