Exercício 14:
Mostre as seguintes equivalências:
q (p vee r) Long<=ftrightarrow (q wed>= neg p) r.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as fórmulas q to (p vee r) e (q wed>= neg p) to r são logicamente equivalentes, usando as regras de álgebra proposicional (implicação, De Morgan, associatividade e comutatividade).

Passo 2

Reescrevemos a primeira implicação usando a equivalência A to B equiv neg A vee B:
q to (p vee r) equiv neg q vee (p vee r)

Passo 3

Usamos associatividade e comutatividade da disjunção para agrupar os termos em uma única disjunção:
neg q vee (p vee r) equiv neg q vee p vee r

Passo 4

Reescrevemos a segunda implicação também como disjunção:
(q wed>= neg p) to r equiv neg (q wed>= neg p) vee r

Passo 5

Aplicamos a lei de De Morgan em neg (q wed>= neg p):
neg (q wed>= neg p) equiv neg q vee neg (neg p) equiv neg q vee p
Logo,
neg (q wed>= neg p) vee r equiv (neg q vee p) vee r equiv neg q vee p vee r

Passo 6

Como ambas as fórmulas se reduzem à mesma disjunção neg q vee p vee r, concluímos que são logicamente equivalentes.

Resposta

As fórmulas são equivalentes porque ambas se reduzem a neg q vee p vee r.

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