Exercício 14:
Mostre as seguintes equivalências:
((p wed>= q) r) wed>=(p (s vee r)) Long<=ftrightarrow (p wed>=(s q)) r.

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que a fórmula
((pwed>= q)to r)wed>=(pto(svee r))
é equivalente a
(pwed>=(sto q))to r.
O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar equivalências de implicação e a propriedade distributiva de vee sobre wed>=.

Passo 2

Primeiro usamos a equivalência
(Ato B)equiv(lnot Avee B)
para reescrever as implicações do lado esquerdo. Temos:
(pwed>= q)to r equiv lnot(pwed>= q)vee r equiv lnot pveelnot qvee r
pto(svee r) equiv lnot pvee(svee r) equiv lnot pvee svee r
Logo o lado esquerdo vira
(lnot pveelnot qvee r)wed>=(lnot pvee svee r) .

Passo 3

Agora reescrevemos o lado direito. Aplica-se de novo
(Ato B)equiv(lnot Avee B):
(pwed>=(sto q))to r equiv lnot(pwed>=(sto q))vee r equiv lnot pveelnot(sto q)vee r equiv lnot pvee(swed>=lnot q)vee r
Para eliminar a conjunção dentro da disjunção usamos a distribuição
Xvee(Ywed>= Z)equiv(Xvee Y)wed>=(Xvee Z).

Passo 4

Aplicando a distribuição em lnot pvee(swed>=lnot q)vee r com X=lnot pvee r, Y=s, Z=lnot q, obtemos:
(lnot pvee rvee s)wed>=(lnot pvee rveelnot q)
Como vee é comutativa, isso é o mesmo que
(lnot pvee svee r)wed>=(lnot pveelnot qvee r) ,
que coincide exatamente com a forma do lado esquerdo.

Passo 5

Como os dois lados levam à mesma forma normal conjuntiva, concluímos que as fórmulas são logicamente equivalentes.

Resposta

((pwed>= q)to r)wed>=(pto(svee r)) \equiv (pwed>=(sto q))to r

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