Exercício 14:
Mostre as seguintes equivalências:
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Mostre as seguintes equivalências:
Passo 1
Neste exercício queremos mostrar que a fórmula
é equivalente a
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O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar equivalências de implicação e a propriedade distributiva de sobre
.
é equivalente a
O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar equivalências de implicação e a propriedade distributiva de
Passo 2
Primeiro usamos a equivalência
para reescrever as implicações do lado esquerdo. Temos:
para reescrever as implicações do lado esquerdo. Temos:
Logo o lado esquerdo vira
Passo 3
Agora reescrevemos o lado direito. Aplica-se de novo
:
Para eliminar a conjunção dentro da disjunção usamos a distribuição
.
Passo 4
Aplicando a distribuição em
com
,
,
, obtemos:
Como
é comutativa, isso é o mesmo que
que coincide exatamente com a forma do lado esquerdo.
Passo 5
Como os dois lados levam à mesma forma normal conjuntiva, concluímos que as fórmulas são logicamente equivalentes.