Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
x^{6}-7 x^{3}-8 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
x^{6}-7x^{3}-8 \geq 0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x real.
  • A expressão é um polinômio em x que depende apenas de x^{3} e x^{6}.
    O que se pede: encontrar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação acima.

Passo 2

Observação sobre abordagem (por que fazer isso): a expressão envolve apenas potências x^{3} e x^{6}. Uma técnica prática é fazer a substituição
y = x^{3},
pois então x^{6}=(x^{3})^{2}=y^{2}. Essa substituição reduz a inequação a uma inequação quadrática em y, que é mais fácil de resolver. Note que a substituição é válida para todo x\in\mathbb{R} e mapeia x para y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplicando a substituição y=x^{3} a inequação obtemos
y^{2}-7y-8 \geq 0.
Agora o problema é resolver essa inequação em y.

Passo 4

Resolver a equação quadrática associada para encontrar possíveis pontos críticos:
y^{2}-7y-8=0.
Tentando fatorar, procuramos números a e b tais que a\cdot b=-8 e a+b=-7. Esses números são -8 e 1. Logo a fatoração é
y^{2}-7y-8=(y-8)(y+1).
As raízes são, portanto, y=8 e y=-1.

Passo 5

Análise do sinal da expressão fatorada. A inequação virou
(y-8)(y+1)\geq 0.
Para um produto de dois fatores ser não negativo, ou ambos os fatores são não negativos simultaneamente, ou ambos são não positivos simultaneamente. Fazendo a análise em intervalos definidos pelas raízes y=-1 e y=8, temos:
  • Se y\leq -1, então y+1\leq 0 e y-8\leq 0 → produto \geq 0.
  • Se -1<y<8, os sinais dos fatores são opostos → produto <0.
  • Se y\geq 8, então y+1\geq 0 e y-8\geq 0 → produto \geq 0.
    Portanto a solução em termos de y é
y\in(-\infty,-1]\cup[8,\infty).

Passo 6

Voltar para x usando y=x^{3}. Temos que
x^{3}\in(-\infty,-1]\cup[8,\infty).
Agora resolvemos as duas desigualdades separadamente. A função t\mapsto t^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, portanto podemos aplicar a raiz cúbica mantendo as desigualdades:
  • x^{3}\leq -1 \iff x \leq \sqrt[3]{-1} = -1.
  • x^{3}\geq 8 \iff x \geq \sqrt[3]{8} = 2.
    Logo em termos de x a solução é
x\in(-\infty,-1]\cup[2,\infty).

Passo 7

Verificação rápida (sanidade):
  • Para x=-1: x^{6}-7x^{3}-8 = 1 -7(-1) -8 = 1+7-8=0 — satisfaz (igualdade).
  • Para x=2: 2^{6}-7\cdot2^{3}-8 =64-56-8=0 — satisfaz (igualdade).
  • Para um ponto entre -1 e 2, por exemplo x=0: 0-0-8=-8<0 — não satisfaz, coerente com a solução.
  • Para x=-2: (-2)^{6}-7(-2)^{3}-8 =64 -7(-8)-8 =64+56-8=112>0 — satisfaz, coerente.

Resposta

x\in(-\infty,-1]\cup[2,\infty)

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