Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
Informações dadas:
- A incógnita é
real. - A expressão é um polinômio em
que depende apenas de e .
O que se pede: encontrar o conjunto de todos osque satisfazem a inequação acima.
Passo 2
Observação sobre abordagem (por que fazer isso): a expressão envolve apenas potências
e
. Uma técnica prática é fazer a substituição
pois então
. Essa substituição reduz a inequação a uma inequação quadrática em
, que é mais fácil de resolver. Note que a substituição é válida para todo
e mapeia
para
.
Passo 3
Aplicando a substituição
a inequação obtemos
Agora o problema é resolver essa inequação em
.
Passo 4
Resolver a equação quadrática associada para encontrar possíveis pontos críticos:
Tentando fatorar, procuramos números
e
tais que
e
. Esses números são
e
. Logo a fatoração é
As raízes são, portanto,
e
.
Passo 5
Análise do sinal da expressão fatorada. A inequação virou
Para um produto de dois fatores ser não negativo, ou ambos os fatores são não negativos simultaneamente, ou ambos são não positivos simultaneamente. Fazendo a análise em intervalos definidos pelas raízes
e
, temos:
- Se
, então e → produto . - Se
, os sinais dos fatores são opostos → produto . - Se
, então e → produto .
Portanto a solução em termos deé
Passo 6
Voltar para
usando
. Temos que
Agora resolvemos as duas desigualdades separadamente. A função
é estritamente crescente em
, portanto podemos aplicar a raiz cúbica mantendo as desigualdades:
-
-
Logo em termos dea solução é
Passo 7
Verificação rápida (sanidade):
- Para
: — satisfaz (igualdade). - Para
: — satisfaz (igualdade). - Para um ponto entre
e , por exemplo : — não satisfaz, coerente com a solução. - Para
: — satisfaz, coerente.