Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede: encontrar todos os
que satisfazem essa desigualdade. Informação importante: o domínio natural é todos os reais, porque não há divisão por zero nem raiz par de coisa negativa — é só um polinômio multiplicado por outro.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar cada polinômio. Isso facilita muito estudar o sinal do produto.
Para
, fatoramos o fator comum
:
Para
, procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Portanto:
Passo 3
Substituindo as fatorações na inequação temos uma forma completamente fatorada:
Os zeros (raízes) do produto são, portanto,
,
,
e
. Cada raiz aparece com multiplicidade
(ou seja, todos os fatores são lineares distintos).
Pequeno lembrete didático sobre multiplicidade: se uma raiz tem multiplicidade ímpar a função muda de sinal ao cruzá-la; se for par a função não muda de sinal. Aqui todas são ímpares (1), então em cada zero o sinal do produto muda.
Passo 4
Agora dividimos a reta real pelos pontos críticos em intervalos:
Podemos determinar o sinal do produto em cada intervalo de duas maneiras equivalentes: (a) usar que o grau total é
com coeficiente líder positivo e que, com fatores simples, o sinal alterna em cada raiz; ou (b) testar um número em cada intervalo. Vou fazer uma combinação das duas abordagens para ficar claro.
Como o termo de maior grau é
com coeficiente
, para
o produto é positivo. Como todas as raízes são simples, ao atravessar cada raiz o sinal muda. Assim, lendo da direita para a esquerda:
- em
o sinal é ; - em
muda para ; - em
muda para ; - em
muda para ; - em
muda para .
Passo 5
Para confirmar com cálculos rápidos, faço testes pontuais em cada intervalo:
- Tomando
(em ):
Portanto positivo, coerente com acima.
- Tomando
(em ):
(ou apenas contar sinais:
→ 1 negativo → produto negativo).
- Tomando
(em ):
- Tomando
(em ):
- Tomando
(em ):
Esses testes confirmam a tabela de sinais do passo anterior.
Passo 6
A inequação pede onde o produto é estritamente negativo
. Pelos sinais em cada intervalo, o produto é negativo em:
Como a desigualdade é estrita, os pontos
não pertencem à solução.