Exercício 0.14 Resolva as inequações abaixo
\left(x^{2}-5 x\right)\left(x^{2}-8 x+12\right)<0

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\left(x^{2}-5 x\right)\left(x^{2}-8 x+12\right)<0
e pede: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade. Informação importante: o domínio natural é todos os reais, porque não há divisão por zero nem raiz par de coisa negativa — é só um polinômio multiplicado por outro.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar cada polinômio. Isso facilita muito estudar o sinal do produto.
Para \,x^{2}-5x, fatoramos o fator comum x:
x^{2}-5x = x(x-5).
Para \,x^{2}-8x+12, procuramos dois números cujo produto seja 12 e soma seja -8. Esses números são -2 e -6. Portanto:
x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6).

Passo 3

Substituindo as fatorações na inequação temos uma forma completamente fatorada:
\left(x^{2}-5 x\right)\left(x^{2}-8 x+12\right)=x(x-5)(x-2)(x-6).
Os zeros (raízes) do produto são, portanto, x=0, x=2, x=5 e x=6. Cada raiz aparece com multiplicidade 1 (ou seja, todos os fatores são lineares distintos).
Pequeno lembrete didático sobre multiplicidade: se uma raiz tem multiplicidade ímpar a função muda de sinal ao cruzá-la; se for par a função não muda de sinal. Aqui todas são ímpares (1), então em cada zero o sinal do produto muda.

Passo 4

Agora dividimos a reta real pelos pontos críticos em intervalos:
(-\infty,0),\quad (0,2),\quad (2,5),\quad (5,6),\quad (6,\infty).
Podemos determinar o sinal do produto em cada intervalo de duas maneiras equivalentes: (a) usar que o grau total é 4 com coeficiente líder positivo e que, com fatores simples, o sinal alterna em cada raiz; ou (b) testar um número em cada intervalo. Vou fazer uma combinação das duas abordagens para ficar claro.
Como o termo de maior grau é x^{4} com coeficiente +1, para x\to+\infty o produto é positivo. Como todas as raízes são simples, ao atravessar cada raiz o sinal muda. Assim, lendo da direita para a esquerda:
  • em (6,\infty) o sinal é +;
  • em (5,6) muda para -;
  • em (2,5) muda para +;
  • em (0,2) muda para -;
  • em (-\infty,0) muda para +.

Passo 5

Para confirmar com cálculos rápidos, faço testes pontuais em cada intervalo:
  • Tomando x=7 (em (6,\infty)):
7(7-5)(7-2)(7-6)=7\cdot2\cdot5\cdot1=70>0.
Portanto positivo, coerente com acima.
  • Tomando x=5{,}5 (em (5,6)):
5{,}5(0{,}5)(3{,}5)(-0{,}5)=\text{produto com um fator negativo}\Rightarrow<0.
(ou apenas contar sinais: +,+,+,- → 1 negativo → produto negativo).
  • Tomando x=3 (em (2,5)):
3(-2)(1)(-3)= \text{dois sinais negativos → produto positivo}.
  • Tomando x=1 (em (0,2)):
1(-4)(-1)(-5)= \text{três negativos → produto negativo}.ê
  • Tomando x=-1 (em (-\infty,0)):
(-1)(-6)(-3)(-7)= \text{quatro negativos → produto positivo}.
Esses testes confirmam a tabela de sinais do passo anterior.

Passo 6

A inequação pede onde o produto é estritamente negativo (<0). Pelos sinais em cada intervalo, o produto é negativo em:
(0,2)\quad\text{e}\quad(5,6).
Como a desigualdade é estrita, os pontos 0,2,5,6 não pertencem à solução.

Resposta

(0,2)\cup(5,6)

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