Exercício 0.13 Construa o gráfico cartesiano das funções definidas em
abaixo
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
e pede: construir o gráfico cartesiano dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau
(uma parábola) definido em todo . - Coeficientes:
, , .
O que devemos produzir: uma descrição suficiente para desenhar a parábola (vértice, eixo de simetria, raízes, pontos notáveis e como ela abre).
Passo 2
Por que começar completando o quadrado?
- Uma parábola tem fórmula geral
. Completar o quadrado transforma a expressão em uma forma que mostra imediatamente o vértice e a direção de abertura.
Regra usada (explicação didática): completar o quadrado consiste em pegar os termos quadráticos e lineares, fazer deles um quadrado perfeito adicionando e subtraindo um número adequado, e então agrupar. Isso facilita ver deslocamentos horizontais/verticais da parábola padrão .
Passo 3
Vamos completar o quadrado passo a passo. Partimos de
Tomamos os dois primeiros termos
. Para completar o quadrado, usamos metade do coeficiente de
: metade de
é
. O quadrado correspondente é
. Desenvolvendo esse quadrado temos:
Note que isso coincide exatamente com todos os termos do polinômio original, então
Passo 4
Interpretação da forma completada
.
- Forma padrão de vértice:
. Aqui e . Portanto o vértice é
- Como o coeficiente do quadrado é positivo (
), a parábola abre para cima. - Eixo de simetria: a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja,
Passo 5
Número de raízes e natureza delas (usando discriminante e forma completada).
- Discriminante:
. Substituindo , , :
-
significa que há uma raiz real dupla (a parábola toca o eixo em um ponto). Da forma completada, a raiz é onde , ou seja,
Portanto a interseção com o eixo
é o ponto
(tangência ao eixo
).
Passo 6
Intercepto com o eixo
e alguns pontos úteis para desenhar (sem calculadora).
- Intercepto em
(colocar ):
Assim o ponto
está no gráfico. Observação: peguei esse dado diretamente da função substituindo
.
- Pontos simétricos em torno do eixo
: escolha e (cada um está a unidade do eixo ):
- Outro par simétrico:
e (cada um a unidades do eixo ):
o que confirma simetria com
.
Tabela de pontos úteis (para desenhar):
.
Passo 7
Como desenhar a parábola no papel (passos práticos e dicas):
- Marque o vértice
no plano. Use uma escala onde uma unidade seja confortável (ex.: 1 cm = 1 unidade). - Desenhe a reta vertical do eixo de simetria
como guia pontilhado (opcional). - Plote os pontos calculados:
, , , . Esses pontos mostram claramente a forma e a largura da parábola. - Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e pelos pontos, respeitando a simetria em torno de
e lembrando que a parábola abre para cima. Não é preciso mais pontos para um rascunho; se quiser maior precisão, calcule mais pontos simétricos.
Dica de prova: indique o vértice e a única raiz (tangência) para justificar que a parábola toca o eixoexatamente em .
Passo 8
Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova):
- Completar o quadrado transforma
em . - Vértice é o deslocamento
da parábola padrão . Aqui , . - Discriminante zero
raiz dupla (tangência ao eixo ). - Use simetria para calcular pontos rapidamente sem muitos cálculos.
Resposta
O gráfico é a parábola
; vértice em
; eixo de simetria
; toca o eixo
em
(raiz dupla) e intercepto em
em
.