Exercício 0.13 Construa o gráfico cartesiano das funções definidas em \mathbb{R} abaixo
y=x^{2}-3 x+\frac{9}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função definida em \mathbb{R}
y = x^{2} - 3x + \frac{9}{4}
e pede: construir o gráfico cartesiano dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 2 (uma parábola) definido em todo \mathbb{R}.
  • Coeficientes: a=1, b=-3, c=\tfrac{9}{4}.
    O que devemos produzir: uma descrição suficiente para desenhar a parábola (vértice, eixo de simetria, raízes, pontos notáveis e como ela abre).

Passo 2

Por que começar completando o quadrado?
  • Uma parábola tem fórmula geral y=ax^{2}+bx+c. Completar o quadrado transforma a expressão em uma forma (x-h)^{2}+k que mostra imediatamente o vértice (h,k) e a direção de abertura.
    Regra usada (explicação didática): completar o quadrado consiste em pegar os termos quadráticos e lineares x^{2}+(\text{coeficiente})x, fazer deles um quadrado perfeito adicionando e subtraindo um número adequado, e então agrupar. Isso facilita ver deslocamentos horizontais/verticais da parábola padrão y=x^{2}.

Passo 3

Vamos completar o quadrado passo a passo. Partimos de
y = x^{2} - 3x + \frac{9}{4}.
Tomamos os dois primeiros termos x^{2}-3x. Para completar o quadrado, usamos metade do coeficiente de x: metade de -3 é -\tfrac{3}{2}. O quadrado correspondente é \left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}. Desenvolvendo esse quadrado temos:
\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2} = x^{2}-3x+\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} = x^{2}-3x+\tfrac{9}{4}.
Note que isso coincide exatamente com todos os termos do polinômio original, então
y = \left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}.

Passo 4

Interpretação da forma completada \;y=\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}.
  • Forma padrão de vértice: y=(x-h)^{2}+k. Aqui h=\tfrac{3}{2} e k=0. Portanto o vértice é
\Bigl(\tfrac{3}{2},\,0\Bigr).
  • Como o coeficiente do quadrado é positivo ( +1), a parábola abre para cima.
  • Eixo de simetria: a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja,
x=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Número de raízes e natureza delas (usando discriminante e forma completada).
  • Discriminante: \Delta = b^{2}-4ac. Substituindo a=1, b=-3, c=\tfrac{9}{4}:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot\tfrac{9}{4} = 9-9=0.
  • \Delta=0 significa que há uma raiz real dupla (a parábola toca o eixo x em um ponto). Da forma completada, a raiz é onde y=0, ou seja,
\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=0 \implies x=\tfrac{3}{2}.
Portanto a interseção com o eixo x é o ponto \left(\tfrac{3}{2},0\right) (tangência ao eixo x).

Passo 6

Intercepto com o eixo y e alguns pontos úteis para desenhar (sem calculadora).
  • Intercepto em y (colocar x=0):
y(0)=0^{2}-3\cdot0+\tfrac{9}{4}=\tfrac{9}{4}.
Assim o ponto (0,\tfrac{9}{4}) está no gráfico. Observação: peguei esse dado diretamente da função substituindo x=0.
  • Pontos simétricos em torno do eixo x=\tfrac{3}{2}: escolha x=1 e x=2 (cada um está a \tfrac{1}{2} unidade do eixo x=\tfrac{3}{2}):
y(1)=\left(1-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4},
y(2)=\left(2-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
  • Outro par simétrico: x=0 e x=3 (cada um a \tfrac{3}{2} unidades do eixo x=\tfrac{3}{2}):
y(3)=\left(3-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4},
o que confirma simetria com y(0)=\tfrac{9}{4}.
Tabela de pontos úteis (para desenhar):
\left( \tfrac{3}{2},0 \right),\\ (1,\tfrac{1}{4}),\\ (2,\tfrac{1}{4}),\\ (0,\tfrac{9}{4}),\\ (3,\tfrac{9}{4}).

Passo 7

Como desenhar a parábola no papel (passos práticos e dicas):
  1. Marque o vértice \left(\tfrac{3}{2},0\right) no plano. Use uma escala onde uma unidade seja confortável (ex.: 1 cm = 1 unidade).
  2. Desenhe a reta vertical do eixo de simetria x=\tfrac{3}{2} como guia pontilhado (opcional).
  3. Plote os pontos calculados: (1,\tfrac{1}{4}), (2,\tfrac{1}{4}), (0,\tfrac{9}{4}), (3,\tfrac{9}{4}). Esses pontos mostram claramente a forma e a largura da parábola.
  4. Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e pelos pontos, respeitando a simetria em torno de x=\tfrac{3}{2} e lembrando que a parábola abre para cima. Não é preciso mais pontos para um rascunho; se quiser maior precisão, calcule mais pontos simétricos.
    Dica de prova: indique o vértice e a única raiz (tangência) para justificar que a parábola toca o eixo x exatamente em \left(\tfrac{3}{2},0\right).

Passo 8

Resumo conceitual rápido (para lembrar na prova):
  • Completar o quadrado transforma x^{2}-3x+\tfrac{9}{4} em \left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}.
  • Vértice é o deslocamento (h,k) da parábola padrão y=x^{2}. Aqui h=\tfrac{3}{2}, k=0.
  • Discriminante zero \Rightarrow raiz dupla (tangência ao eixo x).
  • Use simetria para calcular pontos rapidamente sem muitos cálculos.

Resposta

O gráfico é a parábola y=\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}; vértice em \left(\tfrac{3}{2},0\right); eixo de simetria x=\tfrac{3}{2}; toca o eixo x em x=\tfrac{3}{2} (raiz dupla) e intercepto em y em \left(0,\tfrac{9}{4}\right).

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