Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(c) Y=\sqrt{4 X};
Passo 1
O enunciado dá que [X\sim U(0,1)) (variável uniforme no intervalo (0,1)) e define Y=\sqrt{4X}. A tarefa é determinar a f.d.p. (função densidade de probabilidade) de Y.
A transformação é Y=\sqrt{4X}\].
- O que se pede: achar \(f_Y(y) (a densidade de Y) em toda a reta.]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
Vou primeiro usar o método do cálculo da função de distribuição acumulada (CDF) de Y: F_Y(y)=P(Y\le y). Esse método é direto e evita erros quando a transformação não é linear.
Em seguida vou derivar F_Y para obter f_Y.
Depois mostro brevemente a fórmula geral para transformações monotônicas e aplico como verificação.
Explicando a ideia do CDF: achar F_Y(y) equivale a transformar a desigualdade Y\le y em uma desigualdade em X (usando a relação Y=\sqrt{4X}) e então calcular a probabilidade usando a densidade de X.
Passo 3
Calcular a CDF F_Y(y).
Para y<0: Y=\sqrt{4X} é sempre não negativa, então
F_Y(y)=P(Y\le y)=0\quad\text{para }y<0.
Para y\ge 0: resolver a desigualdade
\sqrt{4X}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad 4X \le y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad X \le \frac{y^2}{4}.
Como X é uniforme em (0,1), para 0\le y\le 2 temos
(Os valores nos pontos isolados y=0\] e \(y=2 não importam para a densidade.)]
Passo 5
Verificação pela fórmula de transformação monotônica (aula rápida sobre a fórmula).
Teorema (caso monótono): se Y=g(X) com g monotônica e diferenciável e g^{-1} sua inversa, então
e zero fora desse intervalo — mesma resposta que antes. Esta fórmula é útil em provas porque evita differentiating CDF quando g é monotônica.
Passo 6
Checagem rápida (conservação de probabilidade):
Calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y)\,dy=\int_0^2 \frac{y}{2}\,dy=\left.\frac{y^2}{4}\right|_0^2=1.
Então a função encontrada é realmente uma densidade válida.
Passo 7
Interpretação e dica de prova: a densidade f_Y(y)=y/2 cresce linearmente de 0 até 2. Isso acontece porque a transformação X\mapsto Y=\sqrt{4X} “estica” os intervalos de X de forma que valores maiores de Y correspondem a intervalos maiores em X, aumentando a densidade em Y perto do extremo superior. Em prova, o método do CDF é direto e seguro; quando g for monotônica, a fórmula da inversa é mais curta.