Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(c) Y=\sqrt{4 X};

Passo 1

O enunciado dá que [X\sim U(0,1)) (variável uniforme no intervalo (0,1)) e define Y=\sqrt{4X}. A tarefa é determinar a f.d.p. (função densidade de probabilidade) de Y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade de X é
f_X(x)=\begin{cases}1,&0<x<1,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
  • A transformação é Y=\sqrt{4X}\]. - O que se pede: achar \(f_Y(y) (a densidade de Y) em toda a reta.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
  • Vou primeiro usar o método do cálculo da função de distribuição acumulada (CDF) de Y: F_Y(y)=P(Y\le y). Esse método é direto e evita erros quando a transformação não é linear.
  • Em seguida vou derivar F_Y para obter f_Y.
  • Depois mostro brevemente a fórmula geral para transformações monotônicas e aplico como verificação.
    Explicando a ideia do CDF: achar F_Y(y) equivale a transformar a desigualdade Y\le y em uma desigualdade em X (usando a relação Y=\sqrt{4X}) e então calcular a probabilidade usando a densidade de X.

Passo 3

Calcular a CDF F_Y(y).
  • Para y<0: Y=\sqrt{4X} é sempre não negativa, então
F_Y(y)=P(Y\le y)=0\quad\text{para }y<0.
  • Para y\ge 0: resolver a desigualdade
\sqrt{4X}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad 4X \le y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad X \le \frac{y^2}{4}.
Como X é uniforme em (0,1), para 0\le y\le 2 temos
F_Y(y)=P\!\left(X\le \frac{y^2}{4}\right)=\frac{y^2}{4},
porque \frac{y^2}{4} está entre 0 e 1 quando 0\le y\le 2.
  • Para y>2: \frac{y^2}{4}>1, então P\!\left(X\le\frac{y^2}{4}\right)=1, ou seja
F_Y(y)=1\quad\text{para }y>2.
Resumindo a CDF:
F_Y(y)=\begin{cases} 0,& y<0,\\[4pt] \dfrac{y^2}{4},& 0\le y\le 2,\\[6pt] 1,& y>2. \end{cases}]

Passo 4

Obter a f.d.p. f_Y(y)\) diferenciando \(F_Y(y)\). - Para \(0<y<2\), \[f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\left(\frac{y^2}{4}\right)=\frac{y}{2}.
  • Para y<0 ou y>2, F_Y é constante, logo f_Y(y)=0.
Portanto
f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{y}{2},& 0<y<2,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
(Os valores nos pontos isolados y=0\] e \(y=2 não importam para a densidade.)]

Passo 5

Verificação pela fórmula de transformação monotônica (aula rápida sobre a fórmula).
Teorema (caso monótono): se Y=g(X) com g monotônica e diferenciável e g^{-1} sua inversa, então
f_Y(y)=f_X\big(g^{-1}(y)\big)\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
Aqui g(x)=\sqrt{4x} é estritamente crescente em [0,1]. A inversa é
g^{-1}(y)=\frac{y^2}{4}.
Derivando,
\frac{d}{dy}g^{-1}(y)=\frac{y}{2}.
Como f_X(x)=1 para 0<x<1 e g^{-1}(y)\in(0,1) exatamente quando y\in(0,2), obtemos
f_Y(y)=1\cdot\frac{y}{2}=\frac{y}{2}\quad\text{para }0<y<2,
e zero fora desse intervalo — mesma resposta que antes. Esta fórmula é útil em provas porque evita differentiating CDF quando g é monotônica.

Passo 6

Checagem rápida (conservação de probabilidade):
Calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y)\,dy=\int_0^2 \frac{y}{2}\,dy=\left.\frac{y^2}{4}\right|_0^2=1.
Então a função encontrada é realmente uma densidade válida.

Passo 7

Interpretação e dica de prova: a densidade f_Y(y)=y/2 cresce linearmente de 0 até 2. Isso acontece porque a transformação X\mapsto Y=\sqrt{4X} “estica” os intervalos de X de forma que valores maiores de Y correspondem a intervalos maiores em X, aumentando a densidade em Y perto do extremo superior. Em prova, o método do CDF é direto e seguro; quando g for monotônica, a fórmula da inversa é mais curta.

Resposta

f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{y}{2},& 0\le y\le 2,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

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