Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(a) Y=X^{2};

Passo 1

O enunciado dá que X segue a distribuição uniforme no intervalo (0,1), isto é:
f_X(x)=1\quad\text{para }0<x<1,
e pede para determinar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória
Y=X^{2}.
Informações relevantes:
  • X é contínua, com suporte (0,1).
  • A transformação é Y=g(X) com g(x)=x^{2}.
  • O objetivo é obter f_Y(y) (a f.d.p. de Y).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicada de forma didática):
  • Método do CDF (mais direto aqui): primeiro calcular a função de distribuição acumulada F_Y(y)=P(Y\le y) em cada faixa de y, e depois derivar F_Y(y) para obter f_Y(y)=F_Y'(y).
  • Alternativa (mesma ideia, enunciada como fórmula útil): se g é monotona em um intervalo e Y=g(X), então
f_Y(y)=f_X\big(g^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
Vou aplicar o método do CDF porque fica bem transparente e exige apenas ideias básicas de probabilidade e derivação.

Passo 3

Calcular F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^{2}\le y). Devemos separar casos por valores de y.
  • Se y<0, então P(X^{2}\le y)=0 porque X^{2}\ge0. Logo F_Y(y)=0 para y<0.
  • Se 0\le y<1, temos
P(X^{2}\le y)=P\big(0<X\le\sqrt{y}\big).
Aqui usei que, para x\ge0, x^{2}\le y equivale a x\le\sqrt{y}. Como X é uniforme em (0,1), a probabilidade de X cair no intervalo (0,\sqrt{y}] é simplesmente o comprimento desse intervalo, isto é \sqrt{y}. Portanto, para 0\le y<1,
F_Y(y)=\sqrt{y}.
  • Se y\ge1, então X^{2}\le y ocorre sempre para todo x\in(0,1), logo F_Y(y)=1.
Resumindo,
F_Y(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] \sqrt{y}, & 0\le y<1,\\[4pt] 1, & y\ge1. \end{cases}]

Passo 4

Agora derivamos F_Y(y) para obter a f.d.p. f_Y(y)=\dfrac{d}{dy}F_Y(y).
  • Para y<0 e y>1 a derivada é 0.
  • Para 0<y<1 a derivada de \sqrt{y}=y^{1/2} é dada pela regra da potência:
\frac{d}{dy}y^{1/2}=\tfrac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{y}}.
Portanto, para 0<y<1,
f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}.
Note que em y=0 a densidade tem singularidade (vai para +\infty), mas isso não é problema: a f.d.p. é integrável no intervalo (0,1). Verificação rápida de normalização:
\int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy=\left[\sqrt{y}\right]_{0}^{1}=1-0=1,
logo a função é uma f.d.p. válida.

Passo 5

Comentário adicional (fórmula de mudança de variável, confirmação): como g(x)=x^{2} é monotona crescente em (0,1), a fórmula direta dá
g^{-1}(y)=\sqrt{y},\qquad \frac{d}{dy}g^{-1}(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}},
e como f_X(x)=1 em (0,1),
f_Y(y)=f_X\big(\sqrt{y}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=1\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2\sqrt{y}},\quad 0<y<1,
confirmando o resultado obtido pelo método do CDF. Exemplo rápido de comparação: se Y=aX com a>0, a fórmula reduz a f_Y(y)=\frac{1}{a}f_X(y/a) — ideia semelhante, só que linear.

Resposta

f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{y}}, & 0<y<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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