Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(a) Y=X^{2};
Passo 1
O enunciado dá que X segue a distribuição uniforme no intervalo (0,1), isto é:
f_X(x)=1\quad\text{para }0<x<1,
e pede para determinar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória
Y=X^{2}.
Informações relevantes:
X é contínua, com suporte (0,1).
A transformação é Y=g(X) com g(x)=x^{2}.
O objetivo é obter f_Y(y) (a f.d.p. de Y).
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicada de forma didática):
Método do CDF (mais direto aqui): primeiro calcular a função de distribuição acumulada F_Y(y)=P(Y\le y) em cada faixa de y, e depois derivar F_Y(y) para obter f_Y(y)=F_Y'(y).
Alternativa (mesma ideia, enunciada como fórmula útil): se g é monotona em um intervalo e Y=g(X), então
Vou aplicar o método do CDF porque fica bem transparente e exige apenas ideias básicas de probabilidade e derivação.
Passo 3
Calcular F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^{2}\le y). Devemos separar casos por valores de y.
Se y<0, então P(X^{2}\le y)=0 porque X^{2}\ge0. Logo F_Y(y)=0 para y<0.
Se 0\le y<1, temos
P(X^{2}\le y)=P\big(0<X\le\sqrt{y}\big).
Aqui usei que, para x\ge0, x^{2}\le y equivale a x\le\sqrt{y}. Como X é uniforme em (0,1), a probabilidade de X cair no intervalo (0,\sqrt{y}] é simplesmente o comprimento desse intervalo, isto é \sqrt{y}. Portanto, para 0\le y<1,
F_Y(y)=\sqrt{y}.
Se y\ge1, então X^{2}\le y ocorre sempre para todo x\in(0,1), logo F_Y(y)=1.
Note que em y=0 a densidade tem singularidade (vai para +\infty), mas isso não é problema: a f.d.p. é integrável no intervalo (0,1). Verificação rápida de normalização:
confirmando o resultado obtido pelo método do CDF. Exemplo rápido de comparação: se Y=aX com a>0, a fórmula reduz a f_Y(y)=\frac{1}{a}f_X(y/a) — ideia semelhante, só que linear.