Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(b) Y=-X^{3};

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória [X) com distribuição uniforme em (0,1), ou seja X\sim U(0,1), e pede a função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável Y=-X^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A f.d.p. de X é
f_X(x)=\begin{cases} 1, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • A variável transformada é Y=-X^{3}\]. - Preciso determinar a f.d.p. de \(Y, isto é f_Y(y), para todo y\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Qual método usar? Para transformações monotônicas de variáveis contínuas, duas maneiras padrão funcionam bem: (i) encontrar a função de distribuição acumulada F_Y e depois derivar, ou (ii) usar a fórmula da mudança de variável para densidades com função inversa. Aqui a transformação g(x)=-x^{3} é estritamente monótona (decrescente) em [0,1], então tanto o método pelo CDF quanto a fórmula direta são fáceis. Vou usar o método do CDF porque ele deixa claro o comportamento em cada região do eixo real.

Passo 3

Determinar o suporte (valores possíveis) de Y.
Como X\in[0,1], tem-se X^{3}\in[0,1]. Portanto
Y=-X^{3}\in[-1,0].
Logo a f.d.p. de Y será nula fora do intervalo [-1,0].

Passo 4

Calcular a função de distribuição F_{Y}(y)=P(Y\le y) em três casos: y<-1, y\in[-1,0] e y>0.
  • Se y<-1, então P(Y\le y)=0 porque Y\ge -1.
  • Se y>0, então P(Y\le y)=1 porque Y\le 0.
  • Para y\in[-1,0], proceder assim:
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(-X^{3}\le y).
Como a função x\mapsto -x^{3} é decrescente, ao manipular a desigualdade troca-se o sentido:
- X^{3}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad X^{3}\ge -y.
Tomando a raiz cúbica (monótona crescente em [0,1]):
X\ge (-y)^{1/3}.
Como X é uniforme em [0,1],
P(X\ge (-y)^{1/3})=1-P(X<(-y)^{1/3})=1-(-y)^{1/3}.
Portanto, para y\in[-1,0],
F_Y(y)=1-(-y)^{1/3}.

Passo 5

Obter a f.d.p. diferenciando F_Y (no interior do suporte).
Para y\in(-1,0),
f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\bigl(1-(-y)^{1/3}\bigr).
Calcule a derivada de (-y)^{1/3}. Seja u=-y, então \dfrac{d}{dy}u=-1 e
\frac{d}{dy}(-y)^{1/3}=\frac{d}{du}u^{1/3}\cdot\frac{du}{dy}=\frac{1}{3}u^{-2/3}\cdot(-1)= -\frac{1}{3}(-y)^{-2/3}.
Logo
f_Y(y)=-\biggl(-\frac{1}{3}(-y)^{-2/3}\biggr)=\frac{1}{3}(-y)^{-2/3}.
Portanto, para y\in(-1,0),
f_Y(y)=\frac{1}{3}(-y)^{-2/3}.

Passo 6

Escrever a f.d.p. completa, incluindo os extremos e fora do suporte, e fazer uma verificação rápida de que a densidade integra 1.
A f.d.p. completa é
f_Y(y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{3}(-y)^{-2/3}, & -1<y<0,\\[8pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
(Em y=-1 e y=0 pode-se definir valores pontuais arbitrários sem alterar a densidade; a forma acima é suficiente.)
Verificação de normalização: faça a substituição t=-y em \int_{-1}^{0}\frac{1}{3}(-y)^{-2/3}\,dy. Com t=-y tem-se dt=-dy e a integral vira
\int_{-1}^{0}\frac{1}{3}(-y)^{-2/3}\,dy=\frac{1}{3}\int_{1}^{0}t^{-2/3}(-dt)=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}t^{-2/3}\,dt.
Agora
\frac{1}{3}\int_{0}^{1}t^{-2/3}\,dt=\frac{1}{3}\left[\frac{t^{1/3}}{1/3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot(1-0)=1,
como esperado.]

Resposta

f_Y(y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{3}(-y)^{-2/3}, & -1<y<0,\\[8pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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