Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(b) Y=-X^{3};
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória [X) com distribuição uniforme em (0,1), ou seja X\sim U(0,1), e pede a função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável Y=-X^{3}.
A variável transformada é Y=-X^{3}\].
- Preciso determinar a f.d.p. de \(Y, isto é f_Y(y), para todo y\in\mathbb{R}.]
Passo 2
Qual método usar? Para transformações monotônicas de variáveis contínuas, duas maneiras padrão funcionam bem: (i) encontrar a função de distribuição acumulada F_Y e depois derivar, ou (ii) usar a fórmula da mudança de variável para densidades com função inversa. Aqui a transformação g(x)=-x^{3} é estritamente monótona (decrescente) em [0,1], então tanto o método pelo CDF quanto a fórmula direta são fáceis. Vou usar o método do CDF porque ele deixa claro o comportamento em cada região do eixo real.
Passo 3
Determinar o suporte (valores possíveis) de Y.
Como X\in[0,1], tem-se X^{3}\in[0,1]. Portanto
Y=-X^{3}\in[-1,0].
Logo a f.d.p. de Y será nula fora do intervalo [-1,0].
Passo 4
Calcular a função de distribuição F_{Y}(y)=P(Y\le y) em três casos: y<-1, y\in[-1,0] e y>0.
Se y<-1, então P(Y\le y)=0 porque Y\ge -1.
Se y>0, então P(Y\le y)=1 porque Y\le 0.
Para y\in[-1,0], proceder assim:
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(-X^{3}\le y).
Como a função x\mapsto -x^{3} é decrescente, ao manipular a desigualdade troca-se o sentido:
- X^{3}\le y \quad\Longleftrightarrow\quad X^{3}\ge -y.
Tomando a raiz cúbica (monótona crescente em [0,1]):