Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x}{x^{-99}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{x}{x^{-99}}
e informa que os denominadores são diferentes de zero. Assim, temos a condição
x^{-99}\neq 0,
o que implica
x\neq 0.

Passo 2

Vamos rever algumas regras de potências que vamos usar (explicadas de forma bem calma):
  • Regra do quociente de potências com mesma base: para a\neq 0 e inteiros m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
Isto significa que, ao dividir potências da mesma base, subtrai-se os expoentes.
  • Regra do expoente negativo: para a\neq 0 e inteiro n,
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}.
Ou seja, um expoente negativo vira o recíproco da potência positiva correspondente.
  • Regra do produto de potências com mesma base: para a\neq 0,
a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}.
Isto é útil quando multiplicamos potências com a mesma base.
Cada uma dessas fórmulas vale somente quando a base a é diferente de zero — por isso reforçamos a condição x\neq 0 do passo anterior.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente de potências: escrevemos o numerador como x^{1} (porque x = x^{1}) e o denominador já é x^{-99}. Então
\frac{x}{x^{-99}}=\frac{x^{1}}{x^{-99}}=x^{\,1-(-99)}.
Agora calculamos o expoente:
1-(-99)=1+99=100.
Portanto
\frac{x}{x^{-99}}=x^{100},
mantendo a condição x\neq 0.

Passo 4

(Método alternativo — só para fixar a ideia.)
Usando o expoente negativo como recíproco: x^{-99}=\dfrac{1}{x^{99}}. Então
\frac{x}{x^{-99}}=\frac{x}{1/x^{99}}=x\cdot x^{99}=x^{1+99}=x^{100},
o que confirma o resultado anterior. Novamente é necessário x\neq 0 para que x^{99} exista no denominador.

Passo 5

Resumo didático rápido: dividir potências de mesma base significa subtrair expoentes; aqui 1-(-99)=100. Alternativamente, transformar o expoente negativo em recíproco e multiplicar também dá x^{100}. Sempre lembrar da restrição x\neq 0.

Resposta

x^{100},\;x\neq 0

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