Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
e informa que os denominadores são diferentes de zero. Assim, temos a condição
o que implica
Passo 2
Vamos rever algumas regras de potências que vamos usar (explicadas de forma bem calma):
- Regra do quociente de potências com mesma base: para
e inteiros ,
Isto significa que, ao dividir potências da mesma base, subtrai-se os expoentes.
- Regra do expoente negativo: para
e inteiro ,
Ou seja, um expoente negativo vira o recíproco da potência positiva correspondente.
- Regra do produto de potências com mesma base: para
,
Isto é útil quando multiplicamos potências com a mesma base.
Cada uma dessas fórmulas vale somente quando a base
é diferente de zero — por isso reforçamos a condição
do passo anterior.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente de potências: escrevemos o numerador como
(porque
) e o denominador já é
. Então
Agora calculamos o expoente:
Portanto
mantendo a condição
.
Passo 4
(Método alternativo — só para fixar a ideia.)
Usando o expoente negativo como recíproco: . Então
Usando o expoente negativo como recíproco:
o que confirma o resultado anterior. Novamente é necessário
para que
exista no denominador.
Passo 5
Resumo didático rápido: dividir potências de mesma base significa subtrair expoentes; aqui
. Alternativamente, transformar o expoente negativo em recíproco e multiplicar também dá
. Sempre lembrar da restrição
.