Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado dá a fração algébrica a ser simplificada e pede que se considere os denominadores diferentes de zero. Informação dada:
O pedido do exercício é: simplificar essa expressão algébrica (ou seja, escrever numa forma mais simples, cancelando fatores comuns), lembrando que o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Qual método usar? Aqui a coisa é simples: procurar fatores comuns e fatorar polinômios para ver se algum fator aparece no numerador e no denominador e pode ser cancelado. Outra forma seria fazer divisão polinomial, mas fatoração é mais direta porque já se vê um fator numérico comum e uma diferença de quadrados. Então vamos fatorar.
Passo 3
Fatorando o numerador passo a passo. Primeiro, observar que
tem fator comum
. Retirando
em evidência:
Agora reconhecer que
é uma diferença de quadrados, que se fatoriza com a identidade
Aqui
e
, logo
Portanto o numerador totalmente fatorado é
Passo 4
Fatorando o denominador. Em
também há fator comum
. Colocando
em evidência:
Passo 5
Reescrevendo a fração com as fatorações obtidas:
Agora vemos o fator comum
no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator desde que ele não seja zero. Ao cancelar obtemos:
Passo 6
Simplificando o coeficiente
:
portanto a forma simplificada (fatorada) é
Se preferir a forma expandida:
Passo 7
Cuidado com a condição do denominador: originalmente o denominador era
, então devemos exigir
, isto é
A expressão simplificada
é equivalente ao valor original para todos os
tais que
. Em
a expressão original não está definida (denominador zero), portanto não podemos atribuir valor ali.
Passo 8
Verificação numérica rápida para ganhar confiança: tomar
. Na expressão original:
Na expressão simplificada:
Combina, desde que
.