Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{4 x^{2}-16}{2 x-4}

Passo 1

O enunciado dá a fração algébrica a ser simplificada e pede que se considere os denominadores diferentes de zero. Informação dada:
\frac{4x^{2}-16}{2x-4}
O pedido do exercício é: simplificar essa expressão algébrica (ou seja, escrever numa forma mais simples, cancelando fatores comuns), lembrando que o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Qual método usar? Aqui a coisa é simples: procurar fatores comuns e fatorar polinômios para ver se algum fator aparece no numerador e no denominador e pode ser cancelado. Outra forma seria fazer divisão polinomial, mas fatoração é mais direta porque já se vê um fator numérico comum e uma diferença de quadrados. Então vamos fatorar.

Passo 3

Fatorando o numerador passo a passo. Primeiro, observar que 4x^{2}-16 tem fator comum 4. Retirando 4 em evidência:
4x^{2}-16 = 4\,(x^{2}-4).
Agora reconhecer que x^{2}-4 é uma diferença de quadrados, que se fatoriza com a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=2, logo
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto o numerador totalmente fatorado é
4x^{2}-16 = 4\,(x-2)(x+2).

Passo 4

Fatorando o denominador. Em 2x-4 também há fator comum 2. Colocando 2 em evidência:
2x-4 = 2\,(x-2).

Passo 5

Reescrevendo a fração com as fatorações obtidas:
\frac{4x^{2}-16}{2x-4} = \frac{4\,(x-2)(x+2)}{2\,(x-2)}.
Agora vemos o fator comum (x-2) no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator desde que ele não seja zero. Ao cancelar obtemos:
\frac{4\,(x-2)(x+2)}{2\,(x-2)} = \frac{4}{2}\,(x+2).

Passo 6

Simplificando o coeficiente \dfrac{4}{2}:
\frac{4}{2}=2,
portanto a forma simplificada (fatorada) é
2\,(x+2).
Se preferir a forma expandida:
2\,(x+2)=2x+4.

Passo 7

Cuidado com a condição do denominador: originalmente o denominador era 2x-4, então devemos exigir 2x-4\ne0, isto é
x\ne2.
A expressão simplificada 2x+4 é equivalente ao valor original para todos os x tais que x\ne2. Em x=2 a expressão original não está definida (denominador zero), portanto não podemos atribuir valor ali.

Passo 8

Verificação numérica rápida para ganhar confiança: tomar x=0. Na expressão original:
\frac{4\cdot0^{2}-16}{2\cdot0-4}=\frac{-16}{-4}=4.
Na expressão simplificada:
2\cdot0+4=4.
Combina, desde que x\ne2.

Resposta

2x+4
x\ne2

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