Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}.
Informações dadas importantes:
  • A fração é \dfrac{a^{2}-b^{2}}{a-b}.
  • Foi pedido para simplificar (ou seja, reduzir a expressão ao forma mais simples equivalente).
  • Foi considerado que os denominadores são diferentes de zero, portanto aqui vale a-b\neq0.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma identidade algébrica fundamental (a “diferença de quadrados”) e entender por que ela vale. A identidade é
(x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}.
Prova rápida (multiplicando termo a termo): ao multiplicar (x-y)(x+y) obtém-se
x\cdot x + x\cdot y - y\cdot x - y\cdot y = x^{2} + xy - xy - y^{2} = x^{2}-y^{2},
pois xy-xy=0. Portanto a identidade está correta.
Aplicando essa identidade aos símbolos do nosso problema, com x=a e y=b, obtemos a fatoração
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).

Passo 3

Substituímos essa fatoração na fração original. Temos
\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}.
Aqui aparece o mesmo fator (a-b) no numerador e no denominador. Há uma regra de cancelamento: se um mesmo fator aparece no numerador e no denominador e esse fator é diferente de zero, pode-se dividir (cancelar) por ele. Ou seja, desde que a-b\neq0 podemos simplificar dividindo numerador e denominador por (a-b).

Passo 4

Aplicando o cancelamento (lembrando que é válido apenas para a-b\neq0) obtemos
\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b.
Portanto a forma simplificada da fração é a+b, válida para todos os valores de a e b tais que a-b\neq0.

Passo 5

Para ficar mais concreto, um checagem numérica rápida: tome a=5 e b=3 (aqui a-b=2\neq0). Então
\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}=\frac{5^{2}-3^{2}}{5-3}=\frac{25-9}{2}=\frac{16}{2}=8,
e
a+b=5+3=8,
concordando com a simplificação.

Resposta

a+b (para a-b\neq0)

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