Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas importantes:
- A fração é
. - Foi pedido para simplificar (ou seja, reduzir a expressão ao forma mais simples equivalente).
- Foi considerado que os denominadores são diferentes de zero, portanto aqui vale
.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma identidade algébrica fundamental (a “diferença de quadrados”) e entender por que ela vale. A identidade é
Prova rápida (multiplicando termo a termo): ao multiplicar
obtém-se
pois
. Portanto a identidade está correta.
Aplicando essa identidade aos símbolos do nosso problema, com
e
, obtemos a fatoração
Passo 3
Substituímos essa fatoração na fração original. Temos
Aqui aparece o mesmo fator
no numerador e no denominador. Há uma regra de cancelamento: se um mesmo fator aparece no numerador e no denominador e esse fator é diferente de zero, pode-se dividir (cancelar) por ele. Ou seja, desde que
podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
.
Passo 4
Aplicando o cancelamento (lembrando que é válido apenas para
) obtemos
Portanto a forma simplificada da fração é
, válida para todos os valores de
e
tais que
.
Passo 5
Para ficar mais concreto, um checagem numérica rápida: tome
e
(aqui
). Então
e
concordando com a simplificação.