Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x^{2}+5 x+6}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo, considerando que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x^{2}+5x+6}{x+2}.
Informações dadas:
  • Numerador: \,x^{2}+5x+6.
  • Denominador: \,x+2.
  • Condição: o denominador é diferente de zero, ou seja \,x\neq -2.

Passo 2

Estratégia básica (fórmula que vamos usar): quando o numerador e o denominador têm um fator comum, é possível fatorar o numerador e simplificar cancelando esse fator comum, desde que se respeite a restrição de que o fator cancelado não seja zero (caso contrário a expressão original não estaria definida). Aqui vamos tentar fatorar o polinômio quadrático \,x^{2}+5x+6.

Passo 3

Como o coeficiente de \,x^{2} é \,1, procurar dois números \,p e \,q tais que:
p+q=5
e
p\cdot q=6.
Procurando pares de inteiros cujo produto seja \,6: (1,6),(2,3),(-1,-6),(-2,-3). Desses, apenas (2,3) tem soma \,5. Logo:
p=2,\qquad q=3.

Passo 4

Fatorando o quadrático usando os números encontrados:
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
Verificação rápida (distribuição/FOIL):
(x+2)(x+3)=x\cdot x + x\cdot 3 + 2\cdot x + 2\cdot 3 = x^{2}+3x+2x+6 = x^{2}+5x+6.

Passo 5

Substituir a fatoração na fração:
\frac{x^{2}+5x+6}{x+2}=\frac{(x+2)(x+3)}{x+2}.

Passo 6

Cancelar o fator comum \,x+2 no numerador e no denominador. Isso é válido somente quando \,x+2\neq 0, isto é, quando \,x\neq -2 (essa restrição já foi dada no enunciado). Após o cancelamento obtemos:
\frac{(x+2)(x+3)}{x+2}=x+3\qquad\text{para }\;x\neq -2.

Passo 7

Conclusão final e observação importante: a forma simplificada da fração é \,x+3, mas é preciso lembrar que a expressão original não está definida em \,x=-2. Portanto a igualdade entre a fração original e a expressão simplificada vale para todos os \,x diferentes de -2.

Resposta

\,x+3,\;x\neq -2

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