Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica abaixo, considerando que os denominadores são diferentes de zero:
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Condição: o denominador é diferente de zero, ou seja
.
Passo 2
Estratégia básica (fórmula que vamos usar): quando o numerador e o denominador têm um fator comum, é possível fatorar o numerador e simplificar cancelando esse fator comum, desde que se respeite a restrição de que o fator cancelado não seja zero (caso contrário a expressão original não estaria definida). Aqui vamos tentar fatorar o polinômio quadrático
.
Passo 3
Como o coeficiente de
é
, procurar dois números
e
tais que:
e
Procurando pares de inteiros cujo produto seja
:
. Desses, apenas
tem soma
. Logo:
Passo 4
Fatorando o quadrático usando os números encontrados:
Verificação rápida (distribuição/FOIL):
Passo 5
Substituir a fatoração na fração:
Passo 6
Cancelar o fator comum
no numerador e no denominador. Isso é válido somente quando
, isto é, quando
(essa restrição já foi dada no enunciado). Após o cancelamento obtemos:
Passo 7
Conclusão final e observação importante: a forma simplificada da fração é
, mas é preciso lembrar que a expressão original não está definida em
. Portanto a igualdade entre a fração original e a expressão simplificada vale para todos os
diferentes de
.