Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{b+a}{a b}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica, considerando que os denominadores são diferentes de zero. A expressão dada é:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{b+a}{ab}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os denominadores são diferentes de zero, ou seja a\neq0, b\neq0 (portanto ab\neq0).
  • A pergunta é: simplificar a expressão acima (escrever numa forma mais simples, reduzida).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (e aprender) a regra para somar duas frações com denominadores diferentes. Para quaisquer números/símbolos p,q,r,s com q\neq0 e s\neq0,
\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{p\cdot s + r\cdot q}{q\cdot s}.
Aqui p e r são os numeradores; q e s são os denominadores. O procedimento é: transformar cada fração para um denominador comum (o produto dos denominadores funciona sempre), multiplicando numerador e denominador adequadamente, e então somar os numeradores.
Exemplo rápido e numérico só para fixar: \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot3+1\cdot2}{2\cdot3}=\dfrac{5}{6}.

Passo 3

Aplique a regra à soma \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}. Usando o denominador comum ab (válido porque a\neq0 e b\neq0),
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1\cdot b}{a\cdot b}+\frac{1\cdot a}{b\cdot a}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}.
Somando os numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}.

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta na expressão original, obtemos
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}-\frac{b+a}{ab}.
Observe que \,a+b e b+a são iguais (adição é comutativa), logo os numeradores são exatamente os mesmos. Portanto temos
\frac{a+b}{ab}-\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b-(b+a)}{ab}=\frac{0}{ab}.

Passo 5

Como ab\neq0, a fração \dfrac{0}{ab} é igual a zero. Assim a expressão simplificada vale zero.

Resposta

0

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