Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{4 x^{2}-12 x}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica e diz que os denominadores são diferentes de zero. A expressão dada é
\frac{4x^{2}-12x}{x^{2}-9}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: 4x^{2}-12x.
  • Denominador: x^{2}-9.
  • Condição: o(s) valor(es) de x que anulam o denominador devem ser excluídos (ou seja, x não pode ser raiz do denominador).

Passo 2

Primeiro passo prático: identificar fatores comuns no numerador. Para isso, encontrar o máximo divisor comum (MDC) dos termos 4x^{2} e -12x.
Explicação didática curta: o MDC é o maior monômio que divide ambos os termos. Aqui:
  • 4x^{2} tem fatores 4 e x^{2}.
  • -12x tem fatores -12 e x.
    O maior coeficiente comum é 4 e a menor potência de x comum é x. Logo o MDC é 4x.
Fatorando o numerador por 4x:
4x^{2}-12x = 4x\bigl(x-3\bigr).

Passo 3

Agora fatorar o denominador x^{2}-9.
Explicação didática curta: x^{2}-9 é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrito como x^{2}-(3)^{2}. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a=x e b=3. Aplicando:
x^{2}-9 = (x-3)(x+3).

Passo 4

Reescrever a fração com as fatorações obtidas:
\frac{4x^{2}-12x}{x^{2}-9} = \frac{4x\bigl(x-3\bigr)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 5

Cancelar o fator comum (x-3) no numerador e no denominador.
Explicação didática sobre cancelamento: quando um mesmo fator aparece multiplicando numerador e denominador, ele pode ser simplificado (dividido) por si próprio, desde que se observe que qualquer valor de x que torne esse fator zero está proibido desde o início (porque anulou o denominador original). Portanto a simplificação algebrica é válida, mas as restrições sobre x permanecem.
Fazendo o cancelamento:
\frac{4x\bigl(x-3\bigr)}{(x-3)(x+3)} = \frac{4x}{x+3},
desde que x\neq 3 e x\neq -3 (essas são as raízes do denominador original x^{2}-9).

Passo 6

Verificação rápida com um número para ganhar confiança (opcional na prova, mas bom para checar): tomar x=1 (que não é proibido). No original,
\frac{4(1)^{2}-12(1)}{1^{2}-9}=\frac{4-12}{1-9}=\frac{-8}{-8}=1.
No resultado simplificado,
\frac{4(1)}{1+3}=\frac{4}{4}=1.
Confere — bom sinal.
Observação sobre x=0: x=0 não anula o denominador original, então é permitido; o resultado para x=0 é \dfrac{0}{3}=0.

Passo 7

Resumo didático final: a simplificação se baseou em dois passos padrões que aparecem muito em provas — (i) fatorar por máximo divisor comum no numerador; (ii) reconhecer e fatorar diferença de quadrados no denominador — e só então cancelar fatores comuns, sempre lembrando de manter as restrições que vêm do denominador original.

Resposta

\dfrac{4x}{x+3},\quad x\neq 3,\\ x\neq -3

Exercícios relacionados