Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica e diz que os denominadores são diferentes de zero. A expressão dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Condição: o(s) valor(es) de
que anulam o denominador devem ser excluídos (ou seja, não pode ser raiz do denominador).
Passo 2
Primeiro passo prático: identificar fatores comuns no numerador. Para isso, encontrar o máximo divisor comum (MDC) dos termos
e
.
Explicação didática curta: o MDC é o maior monômio que divide ambos os termos. Aqui:
-
tem fatores e . -
tem fatores e .
O maior coeficiente comum ée a menor potência de comum é . Logo o MDC é .
Fatorando o numerador por
:
Passo 3
Agora fatorar o denominador
.
Explicação didática curta:
é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrito como
. A fórmula da diferença de quadrados é
onde
e
. Aplicando:
Passo 4
Reescrever a fração com as fatorações obtidas:
Passo 5
Cancelar o fator comum
no numerador e no denominador.
Explicação didática sobre cancelamento: quando um mesmo fator aparece multiplicando numerador e denominador, ele pode ser simplificado (dividido) por si próprio, desde que se observe que qualquer valor de
que torne esse fator zero está proibido desde o início (porque anulou o denominador original). Portanto a simplificação algebrica é válida, mas as restrições sobre
permanecem.
Fazendo o cancelamento:
desde que
e
(essas são as raízes do denominador original
).
Passo 6
Verificação rápida com um número para ganhar confiança (opcional na prova, mas bom para checar): tomar
(que não é proibido). No original,
No resultado simplificado,
Confere — bom sinal.
Observação sobre
:
não anula o denominador original, então é permitido; o resultado para
é
.
Passo 7
Resumo didático final: a simplificação se baseou em dois passos padrões que aparecem muito em provas — (i) fatorar por máximo divisor comum no numerador; (ii) reconhecer e fatorar diferença de quadrados no denominador — e só então cancelar fatores comuns, sempre lembrando de manter as restrições que vêm do denominador original.