Exercício 14. Simplifique as frações algébricas a seguir. Considere que os denominadores são diferentes de zero:
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica dada e já avisa que os denominadores são diferentes de zero. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Expressão fornecida: \dfrac{x}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}.
  • Informação importante: o denominador \,x+1, não pode ser zero, portanto \,x\neq -1.
  • Pedido: simplificar a expressão algébrica, ou seja, escrever de forma mais simples e reduzida, mantendo as mesmas restrições.

Passo 2

Conceito básico que vou usar (explicando devagar): quando duas frações algébricas têm o mesmo denominador, para somar ou subtrair basta operar os numeradores e manter o denominador comum. Em linguagem matemática a regra é:
\frac{A}{D}-\frac{B}{D}=\frac{A-B}{D},
onde A, B e D são expressões algébricas e D\neq 0. Aqui A é o numerador da primeira fração, B o numerador da segunda e D o denominador comum.
No nosso caso temos:
  • A=x,
  • B=1,
  • D=x+1 (e já lembramos que x+1\neq 0).

Passo 3

Aplicando a regra diretamente ao nosso problema: subtrai-se os numeradores e mantém-se o denominador comum. Escrevendo a operação:
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}.
Aqui cada passo é óbvio: pegou-se x (primeiro numerador) menos 1 (segundo numerador) no numerador da nova fração, e o denominador ficou x+1.

Passo 4

Verificação rápida (para ganhar confiança): escolha um valor permitido, por exemplo x=2 (que satisfaz x\neq -1). Calculando as duas formas:
\frac{2}{2+1}-\frac{1}{2+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
E pela forma simplificada:
\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}.
Os resultados coincidem, o que confirma que o procedimento está correto.

Passo 5

Checar possibilidade de simplificação adicional: o numerador \,x-1, e o denominador \,x+1, não têm fator comum que possa ser cancelado (são polinômios de primeiro grau com raízes diferentes), portanto não há mais simplificação algébrica possível além de já feita. Não esquecer a restrição de domínio: \,x\neq -1.

Resposta

\dfrac{x-1}{x+1}

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