Exercício 16: Dados três estudantes: João, Pedro e Manoel. A professora escolhe um ao acaso para fazer uma pergunta. Se cinco perguntas foram feitas, qual a probabilidade de:
a) Manoel nunca ser escolhido?
b) Um (qualquer) dos estudantes não ser solicitado a responder sequer uma pergunta?
a) Manoel nunca ser escolhido?
b) Um (qualquer) dos estudantes não ser solicitado a responder sequer uma pergunta?
Passo 1
O enunciado diz: três estudantes — João, Pedro e Manoel — e a professora escolhe, a cada pergunta, um deles ao acaso. Foram feitas cinco perguntas. As perguntas do enunciado são:
- (a) Qual é a probabilidade de Manoel nunca ser escolhido em nenhuma das cinco perguntas?
- (b) Qual é a probabilidade de que um (qualquer) dos estudantes não seja solicitado a responder sequer uma pergunta (ou seja, que pelo menos um dos três não seja escolhido em nenhuma das cinco perguntas)?
Informações relevantes dadas (ou implicitamente assumidas, já que a questão está bem formulada):
- Em cada pergunta a escolha é feita “ao acaso” entre os três; assumimos que cada estudante tem a mesma chance
em cada pergunta. - As escolhas em perguntas diferentes são independentes (o resultado de uma pergunta não altera as probabilidades das seguintes).
- Foram realizadas exatamente cinco perguntas.
Passo 2
Vamos resolver (a). Primeiro, identificar probabilidades em um único ensaio (uma pergunta):
- Probabilidade de Manoel ser escolhido numa pergunta:
. - Probabilidade de Manoel não ser escolhido numa pergunta:
.
Como as escolhas são independentes, a probabilidade de Manoel não ser escolhido em todas as cinco perguntas é o produto das probabilidades em cada pergunta (regra do produto para eventos independentes). Assim:
Agora calculamos essa potência:
Se quiser uma aproximação decimal:
Passo 3
Agora (b). Definimos eventos (cada um = “esse estudante não é escolhido em nenhuma das cinco perguntas”):
-
: João nunca escolhido. -
: Pedro nunca escolhido. -
: Manoel nunca escolhido.
Queremos a probabilidade de que “um (qualquer) dos estudantes não seja escolhido”, isto é, a união
— pelo menos um dos três fica sem ser escolhido. Usamos o princípio da inclusão-exclusão para probabilidades:
Pelo raciocínio do item (a), para cada estudante isoladamente a probabilidade de não ser escolhido em cinco perguntas é
. Então
Agora as interseções de dois eventos, por exemplo
: isso significa nem João nem Pedro foram escolhidos em todas as cinco perguntas — logo, em todas as cinco perguntas foi escolhido sempre Manoel. A probabilidade disso é
. Pelo mesmo raciocínio,
A interseção dos três eventos
significaria que nenhum dos três foi escolhido em todas as perguntas — isso é impossível, já que em cada pergunta alguém é escolhido. Portanto
Substituindo na fórmula da inclusão-exclusão:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Aproximação decimal:
Resposta
(a)
(b)
(b)