Exercício 16: Dados três estudantes: João, Pedro e Manoel. A professora escolhe um ao acaso para fazer uma pergunta. Se cinco perguntas foram feitas, qual a probabilidade de:
a) Manoel nunca ser escolhido?
b) Um (qualquer) dos estudantes não ser solicitado a responder sequer uma pergunta?

Passo 1

O enunciado diz: três estudantes — João, Pedro e Manoel — e a professora escolhe, a cada pergunta, um deles ao acaso. Foram feitas cinco perguntas. As perguntas do enunciado são:
  • (a) Qual é a probabilidade de Manoel nunca ser escolhido em nenhuma das cinco perguntas?
  • (b) Qual é a probabilidade de que um (qualquer) dos estudantes não seja solicitado a responder sequer uma pergunta (ou seja, que pelo menos um dos três não seja escolhido em nenhuma das cinco perguntas)?
Informações relevantes dadas (ou implicitamente assumidas, já que a questão está bem formulada):
  • Em cada pergunta a escolha é feita “ao acaso” entre os três; assumimos que cada estudante tem a mesma chance 1/3 em cada pergunta.
  • As escolhas em perguntas diferentes são independentes (o resultado de uma pergunta não altera as probabilidades das seguintes).
  • Foram realizadas exatamente cinco perguntas.

Passo 2

Vamos resolver (a). Primeiro, identificar probabilidades em um único ensaio (uma pergunta):
  • Probabilidade de Manoel ser escolhido numa pergunta: \dfrac{1}{3}.
  • Probabilidade de Manoel não ser escolhido numa pergunta: 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
Como as escolhas são independentes, a probabilidade de Manoel não ser escolhido em todas as cinco perguntas é o produto das probabilidades em cada pergunta (regra do produto para eventos independentes). Assim:
\text{P(Manoel nunca escolhido)}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^5.
Agora calculamos essa potência:
\left(\dfrac{2}{3}\right)^5=\dfrac{2^5}{3^5}=\dfrac{32}{243}.
Se quiser uma aproximação decimal:
\dfrac{32}{243}\approx 0,131687\ldots

Passo 3

Agora (b). Definimos eventos (cada um = “esse estudante não é escolhido em nenhuma das cinco perguntas”):
  • A: João nunca escolhido.
  • B: Pedro nunca escolhido.
  • C: Manoel nunca escolhido.
Queremos a probabilidade de que “um (qualquer) dos estudantes não seja escolhido”, isto é, a união A\cup B\cup C — pelo menos um dos três fica sem ser escolhido. Usamos o princípio da inclusão-exclusão para probabilidades:
\Pr(A\cup B\cup C)=\Pr(A)+\Pr(B)+\Pr\text{(C)}-\Pr(A\cap B)-\Pr(A\cap C)-\Pr(B\cap C)+\Pr(A\cap B\cap C).
Pelo raciocínio do item (a), para cada estudante isoladamente a probabilidade de não ser escolhido em cinco perguntas é \left(\dfrac{2}{3}\right)^5. Então
\Pr(A)=\Pr(B)=\Pr\text{(C)}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^5=\dfrac{32}{243}.
Agora as interseções de dois eventos, por exemplo A\cap B: isso significa nem João nem Pedro foram escolhidos em todas as cinco perguntas — logo, em todas as cinco perguntas foi escolhido sempre Manoel. A probabilidade disso é \left(\dfrac{1}{3}\right)^5=\dfrac{1}{243}. Pelo mesmo raciocínio,
\Pr(A\cap B)=\Pr(A\cap C)=\Pr(B\cap C)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^5=\dfrac{1}{243}.
A interseção dos três eventos A\cap B\cap C significaria que nenhum dos três foi escolhido em todas as perguntas — isso é impossível, já que em cada pergunta alguém é escolhido. Portanto
\Pr(A\cap B\cap C)=0.
Substituindo na fórmula da inclusão-exclusão:
\Pr(A\cup B\cup C)=3\cdot\dfrac{32}{243}-3\cdot\dfrac{1}{243}+0=\dfrac{96-3}{243}=\dfrac{93}{243}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\dfrac{93}{243}=\dfrac{31}{81}.
Aproximação decimal:
\dfrac{31}{81}\approx 0,382716\ldots

Resposta

(a) \dfrac{32}{243}
(b) \dfrac{31}{81}

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