Exercício 15. Calcule \iint_{D}(2 y-5 x) d x d y, onde D a região limitada por x=0, y=1-x e y=x-1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{D}(2y-5x)\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas curvas x=0, y=1-x e y=x-1.
Informações relevantes dadas (tiradas diretamente do enunciado):
  • As fronteiras são as retas x=0, y=1-x e y=x-1.
  • A região D é a porção do plano limitada por essas três retas (isto é, um triângulo).
  • A função a integrar é f(x,y)=2y-5x.
Também é útil identificar os vértices do triângulo (encontrados pelas interseções das retas):
  • Interseção de x=0 com y=1-x: (0,1).
  • Interseção de x=0 com y=x-1: (0,-1).
  • Interseção de y=1-x com y=x-1: resolvendo 1-x=x-1 x=1, então o ponto é (1,0).
Portanto D é o triângulo com vértices (0,1), (0,-1) e (1,0). A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla acima sobre esse triângulo.

Passo 2

Escolher a ordem de integração e os limites. Uma forma natural aqui é integrar primeiro em y (verticalmente) e depois em x (horizontalmente), porque para cada x fixo entre 0 e 1 o y varia entre a reta de baixo y=x-1 e a reta de cima y=1-x.
Logo os limites são:
0 \le x \le 1,\qquad x-1 \le y \le 1-x.
Escrevendo a integral iterada:
\iint_{D}(2y-5x)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x-1}^{\,1-x}(2y-5x)\,dy\right)dx.
Explicação didática rápida: para montar limites tipo “para cada x…” desenhe mentalmente (ou no rascunho) o triângulo e veja as retas superior e inferior em função de x. Aqui isso é simples porque as duas retas são dadas como y= expressão em x.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Primeiro ache uma antiderivada em y de 2y-5x. Como x é tratado como constante na integração em y:
  • A antiderivada de 2y em relação a y é y^{2} pois \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y.
  • A antiderivada de -5x em relação a y é -5x\,y pois \dfrac{d}{dy}(-5x\,y)=-5x.
Portanto uma primitiva é y^{2}-5x y. Avaliando entre os limites y= x-1 e y=1-x temos:
\int_{y=x-1}^{\,1-x}(2y-5x)\,dy = \bigl[y^{2}-5x y\bigr]_{y=x-1}^{\,y=1-x}.
Agora substituímos os limites explicitamente:
\bigl[(1-x)^{2}-5x(1-x)\bigr]-\bigl[(x-1)^{2}-5x(x-1)\bigr].

Passo 4

Simplificar a expressão obtida no passo anterior. Observe que
(1-x)^{2}=(x-1)^{2},
portanto esses termos quadráticos se cancelam ao subtrair. Então resta apenas a parte com 5x:
-5x(1-x)-\bigl(-5x(x-1)\bigr).
Desenvolvendo para ver claramente a simplificação:
-5x(1-x)-\bigl(-5x(x-1)\bigr) = -5x+5x^{2}+5x^{2}-5x = 10x^{2}-10x.
Fatorando:
10x^{2}-10x = 10x(x-1).
Logo a integral dupla reduz-se à integral de uma função de x só:
\iint_{D}(2y-5x)\,dx\,dy = \int_{0}^{1} 10x(x-1)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em x. Expanda o integrando e integre termo a termo:
10x(x-1)=10(x^{2}-x).
Uma primitiva em x é
10\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right).
Avalie de 0 a 1:
10\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2}\right)-10\left(0\right) =10\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right).
Calcule a diferença de frações:
\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2-3}{6}=-\frac{1}{6}.
Multiplicando por 10:
10\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}.

Resposta

-\dfrac{5}{3}

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