Exercício 15. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
onde
é a região limitada pelas curvas
,
e
.
Informações relevantes dadas (tiradas diretamente do enunciado):
- As fronteiras são as retas
, e . - A região
é a porção do plano limitada por essas três retas (isto é, um triângulo). - A função a integrar é
.
Também é útil identificar os vértices do triângulo (encontrados pelas interseções das retas):
- Interseção de
com : . - Interseção de
com : . - Interseção de
com : resolvendo dá , então o ponto é .
Portanto
é o triângulo com vértices
,
e
. A pergunta é: calcular o valor numérico da integral dupla acima sobre esse triângulo.
Passo 2
Escolher a ordem de integração e os limites. Uma forma natural aqui é integrar primeiro em
(verticalmente) e depois em
(horizontalmente), porque para cada
fixo entre
e
o
varia entre a reta de baixo
e a reta de cima
.
Logo os limites são:
Escrevendo a integral iterada:
Explicação didática rápida: para montar limites tipo “para cada
…” desenhe mentalmente (ou no rascunho) o triângulo e veja as retas superior e inferior em função de
. Aqui isso é simples porque as duas retas são dadas como
expressão em
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
. Primeiro ache uma antiderivada em
de
. Como
é tratado como constante na integração em
:
- A antiderivada de
em relação a é pois . - A antiderivada de
em relação a é pois .
Portanto uma primitiva é
. Avaliando entre os limites
e
temos:
Agora substituímos os limites explicitamente:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida no passo anterior. Observe que
portanto esses termos quadráticos se cancelam ao subtrair. Então resta apenas a parte com
:
Desenvolvendo para ver claramente a simplificação:
Fatorando:
Logo a integral dupla reduz-se à integral de uma função de
só:
Passo 5
Calcular a integral em
. Expanda o integrando e integre termo a termo:
Uma primitiva em
é
Avalie de
a
:
Calcule a diferença de frações:
Multiplicando por
: