Exercício 15. Calcule a integral de linha \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma em que
\vec{F}(x, y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \vec{j}
e \gamma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), t \in[0,2 \pi]. O campo \vec{F} é conservativo? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma
onde
\vec F(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\vec i+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\vec j
e \gamma(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi].
O conteúdo é integração de campo vetorial ao longo de curva parametrizada e verificação de conservatividade via rotacional e conectividade do domínio.

Passo 2

Parametrizamos a curva: \gamma(t)=(\cos t,\sin t)\implies x=\cos t,\;y=\sin t,\;x^2+y^2=1.
Logo
\vec F(\gamma(t)) =\Bigl(-\sin t,\cos t\Bigr), \quad \gamma'(t)=\bigl(-\sin t,\cos t\bigr).
O produto escalar é
\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t) =\sin^2t+\cos^2t=1.

Passo 3

A integral de linha torna-se
\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Passo 4

Para verificar se \vec F é conservativo, calculamos o rotacional em \R^2\setminus\{0\}:
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{-y}{x^2+y^2}\Bigr) =0.
Apesar de o rotacional ser zero fora da origem, o domínio \R^2\setminus\{0\} não é simplesmente conexo (há um “buraco” em (0,0)), logo não existe potencial global bem definido. Assim, \vec F não é conservativo nesse domínio.

Resposta

\displaystyle 2\pi. O campo \vec F não é conservativo em \R^2 que contenha a origem.

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