Exercício 15. Calcule a integral de linha
em que
. O campo
é conservativo? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
onde
e
,
.
O conteúdo é integração de campo vetorial ao longo de curva parametrizada e verificação de conservatividade via rotacional e conectividade do domínio.
O conteúdo é integração de campo vetorial ao longo de curva parametrizada e verificação de conservatividade via rotacional e conectividade do domínio.
Passo 2
Parametrizamos a curva:
.
Logo
Logo
O produto escalar é
Passo 3
A integral de linha torna-se
Passo 4
Para verificar se
é conservativo, calculamos o rotacional em
:
Apesar de o rotacional ser zero fora da origem, o domínio
não é simplesmente conexo (há um “buraco” em
), logo não existe potencial global bem definido. Assim,
não é conservativo nesse domínio.